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954
| question
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1.36k
| targets
dict | explanation
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1.3k
⌀ | category
stringclasses 28
values |
|---|---|---|---|---|
200
|
On note par $F$ une primitive sur $\Rr$ de $\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x^2+2x+2}$. Parmi les assertions suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\forall x\\in \\Rr$, $\\displaystyle f(x)=\\frac{2x+2}{x^2+2x+2}+\\frac{1}{x^2+2x+2}$.",
"$\\displaystyle F(x)=\\ln (x^2+2x+2)+\\frac{1}{x^2+2x+2}+k$, $k\\in \\Rr$.",
"$\\displaystyle F(x)=\\ln (x^2+2x+2)+\\arctan(x^2+2x+2)+k$, $k\\in \\Rr$.",
"$\\displaystyle F(x)=\\ln (x^2+2x+2)+\\arctan (x+1)+k$, $k\\in \\Rr$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
L'égalité $2x+3=(2x+2)+1$ donne : $\displaystyle f(x)=\frac{2x+2}{x^2+2x+2}+\frac{1}{1+(x+1)^2}$. Donc, par linéarité : $F(x)=\ln (x^2+2x+2)+\arctan (x+1)+k$ pour un $k\in \Rr$.
|
Primitives_des_fonctions_réelles
|
201
|
Parmi les assertions suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le changement de variable $x=\\sin t$ pour $t\\in [-\\pi/2,\\pi/2]$ donne :",
"Le changement de variable $x=\\sin t$ pour $t\\in [-\\pi/2,\\pi/2]$ donne :",
"$\\displaystyle \\int \\cos ^2t\\, \\mathrm{d}t=\\frac{t}{2}-\\frac{\\sin (2t)}{4}+k=\\frac{t}{2}-\\frac{\\sin t\\cos t}{2}+k$, $k\\in\\Rr$.",
"Une primitive de $\\displaystyle \\sqrt{1-x^2}$ sur $[-1,1]$ est $\\displaystyle \\frac{\\arcsin x}{2}+\\frac{x\\sqrt{1-x^2}}{2}$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Avec $x=\sin t$, on a : $\mathrm{d}x=\cos t\, \mathrm{d}t$ et $\sqrt{1-x^2}=\cos t$ car $t\in [-\pi/2,\pi/2]$. D'où
$$\int \sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x=\int \cos ^2t\, \mathrm{d}t=\int \left(\frac{1}{2}+\frac{\cos (2t)}{2}\right)\mathrm{d}t=\frac{t}{2}+\frac{\sin (2t)}{4}+k,\; k\in \Rr.$$
Ainsi
$$\int \sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x=\frac{t}{2}+\frac{\sin t\cos t}{2}+k=\frac{\arcsin x}{2}+\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+k,\; k\in \Rr.$$
|
Primitives_des_fonctions_réelles
|
202
|
Pour $x\in [0,+\infty[$, on pose $t=x^2$. Parmi les assertions suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\int \\frac{x\\mathrm{d}x}{x^4-x^2-2}=\\int \\frac{\\sqrt{t}\\mathrm{d}t}{t^2-t-2}$.",
"$\\displaystyle \\int \\frac{x\\mathrm{d}x}{x^4-x^2-2}=\\frac{1}{2}\\int \\frac{\\mathrm{d}t}{t^2-t-2}$.",
"$\\forall t\\in \\Rr\\setminus \\{-1,2\\}$, $\\displaystyle \\frac{3}{t^2-t-2}=\\frac{1}{t-2}-\\frac{1}{t+1}$ et $\\displaystyle \\int \\frac{3\\, \\mathrm{d}t}{t^2-t-2}=\\ln\\left|\\frac{t-2}{t+1}\\right|+k$, $k\\in \\Rr$.",
"$\\displaystyle \\int \\frac{x\\mathrm{d}x}{x^4-x^2-2}=\\frac{1}{2}\\ln\\left|\\frac{x^2-2}{x^2+1}\\right|+k$, $k\\in \\Rr$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
| null |
Primitives_des_fonctions_réelles
|
203
|
Le changement de variable $t=x^2$, pour $x\in ]0,+\infty[$, donne :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\int \\frac{2\\mathrm{d}x}{x(x^2+1)^2}=\\int \\frac{\\mathrm{d}t}{(t+1)^2}$.",
"$\\displaystyle \\int \\frac{2\\mathrm{d}x}{x(x^2+1)^2}=\\int \\frac{\\mathrm{d}t}{t(t+1)^2}$.",
"$\\displaystyle \\int \\frac{2\\mathrm{d}x}{x(x^2+1)^2}=\\int \\frac{\\mathrm{d}t}{\\sqrt{t}(t+1)^2}$.",
"$\\displaystyle \\int \\frac{2\\mathrm{d}x}{x(x^2+1)^2}=\\int \\frac{\\mathrm{d}t}{t}-\\int \\frac{\\mathrm{d}t}{t+1}-\\int \\frac{\\mathrm{d}t}{(t+1)^2}$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
| null |
Primitives_des_fonctions_réelles
|
204
|
Pour $x\in ]-\pi/2,\pi/2[$, on pose $t=\tan (x)$ et on rappelle que $\displaystyle \sin ^2x=\frac{\tan ^2x}{1+\tan ^2x}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\frac{1}{1+\\sin ^2x}=\\frac{1+t^2}{1+2t^2}$ et $\\displaystyle \\int \\frac{\\mathrm{d}x}{1+\\sin ^2x}=\\int \\frac{1+t^2}{1+2t^2}\\mathrm{d}t$.",
"$\\displaystyle \\int \\frac{\\mathrm{d}x}{1+\\sin ^2x}=\\frac{t}{2}-\\frac{1}{2\\sqrt{2}}\\arctan(\\sqrt{2}t)+k$, $k\\in \\Rr$.",
"$\\displaystyle \\int \\frac{\\mathrm{d}x}{1+\\sin ^2x}=\\int \\frac{1}{1+2t^2}\\mathrm{d}t$.",
"Sur $]-\\pi/2,\\pi/2[$, on a : $\\displaystyle \\int \\frac{\\mathrm{d}x}{1+\\sin ^2x}=\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\arctan\\left(\\sqrt{2}\\tan x\\right)+k$, $k\\in \\Rr$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
| null |
Primitives_des_fonctions_réelles
|
205
|
Pour $x\in ]-\pi/2,\pi/2[$, on pose $t=\cos x$. Parmi les assertions suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\int \\frac{\\tan x\\mathrm{d}x}{1+\\cos ^2x}=\\tan x\\int \\frac{\\mathrm{d}t}{1+t^2}=\\tan x.\\arctan (\\cos x)+k$, $k\\in \\Rr$.",
"$\\displaystyle \\int \\frac{\\tan x\\mathrm{d}x}{1+\\cos ^2x}=-\\int \\frac{\\mathrm{d}t}{t(1+t^2)}$.",
"$\\forall t\\in \\Rr^*$, $\\displaystyle \\frac{1}{t(1+t^2)}=\\frac{t}{1+t^2}-\\frac{1}{t}$ et donc $\\displaystyle \\int \\frac{\\mathrm{d}t}{t(1+t^2)}=\\ln \\left(\\frac{\\sqrt{1+t^2}}{t}\\right)+k$, $k\\in \\Rr$.",
"Sur $]-\\pi/2,\\pi/2[$, on a : $\\displaystyle \\int \\frac{\\tan x\\, \\mathrm{d}x}{1+\\cos ^2x}=\\ln \\left(\\frac{\\sqrt{1+\\cos ^2x}}{\\cos x}\\right)+k$, $k\\in \\Rr$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
| null |
Primitives_des_fonctions_réelles
|
206
|
Le changement de variable $t=\sin x$ donne :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\int \\frac{\\cos ^3x\\mathrm{d}x}{1+\\sin ^2x}=\\cos ^3 x\\int \\frac{\\mathrm{d}t}{1+t^2}$.",
"$\\displaystyle \\int \\frac{\\cos ^3x\\mathrm{d}x}{1+\\sin ^2x}=\\cos ^3 x.\\arctan (\\sin x)+k$, $k\\in \\Rr$.",
"$\\displaystyle \\int \\frac{\\cos ^3x\\mathrm{d}x}{1+\\sin ^2x}=\\int \\frac{1-t^2}{1+t^2}\\mathrm{d}t$.",
"$\\displaystyle \\int \\frac{\\cos ^3x\\mathrm{d}x}{1+\\sin ^2x}=-t+2\\arctan t+k$, $k\\in \\Rr$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
| null |
Primitives_des_fonctions_réelles
|
207
|
On se place dans l'intervalle $]-\pi,\pi[$ et on rappelle que $\displaystyle \cos x=\frac{1-\tan ^2(x/2)}{1+\tan ^2(x/2)}$ et que $\displaystyle \sin x=\frac{2\tan (x/2)}{1+\tan ^2(x/2)}$. Le changement de variable $t=\tan (x/2)$ donne :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\int \\frac{\\mathrm{d}x}{2+\\cos x}=\\int \\frac{2\\mathrm{d}t}{3+t^2}$.",
"$\\displaystyle \\int \\frac{\\mathrm{d}x}{2+\\sin x}=\\int \\frac{\\mathrm{d}t}{t^2+t+1}$.",
"$\\displaystyle \\int \\frac{\\mathrm{d}x}{2+\\cos x}=\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\arctan\\left(\\frac{t}{\\sqrt{3}}\\right)+k$, $k\\in \\Rr$.",
"$\\displaystyle \\int \\frac{\\mathrm{d}x}{2+\\sin x}=\\frac{1}{\\sqrt{2t+1}}\\ln (t^2+t+1)+k$, $k\\in \\Rr$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
| null |
Primitives_des_fonctions_réelles
|
208
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le changement de variable $\\displaystyle t=\\sqrt{x}$ donne $\\displaystyle \\int \\frac{\\mathrm{d}x}{\\sqrt{x}(x+1)^2}=\\int \\frac{\\mathrm{d}t}{(t^2+1)^2}$.",
"$\\displaystyle \\int \\frac{\\mathrm{d}t}{t^2+1}=\\frac{t}{t^2+1}+\\int \\frac{2t^2\\, \\mathrm{d}t}{(t^2+1)^2}$.",
"$\\displaystyle \\int \\frac{2\\, \\mathrm{d}t}{(t^2+1)^2}=\\frac{t}{t^2+1}+\\arctan t+k$, $k\\in \\Rr$.",
"Une primitive de $\\displaystyle \\frac{1}{\\sqrt{x}(x+1)^2}$ sur $]0,+\\infty[$ est $\\displaystyle \\frac{1}{2}\\left(\\frac{\\sqrt{x}}{x+1}+\\arctan \\sqrt{x}\\right)$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
| null |
Primitives_des_fonctions_réelles
|
209
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le changement de variable $\\displaystyle t=\\sqrt{x}$ donne $\\displaystyle \\int \\frac{\\mathrm{d}x}{\\sqrt{x}(x-1)^2}=\\int \\frac{\\mathrm{d}t}{(t^2-1)^2}$.",
"$\\forall t\\in \\Rr\\setminus \\{-1,1\\}$, $\\displaystyle \\frac{4}{(t^2-1)^2}=\\frac{1}{t+1}-\\frac{1}{t-1}+\\frac{1}{(t+1)^2}+\\frac{1}{(t-1)^2}$.",
"$\\displaystyle \\int \\frac{4\\mathrm{d}t}{(t^2-1)^2}=\\ln \\left|\\frac{t+1}{t-1}\\right|-\\frac{2t}{t^2-1}+k$, $k\\in \\Rr$.",
"Une primitive de $\\displaystyle \\frac{1}{\\sqrt{x}(x-1)^2}$ sur $]1,+\\infty[$ est $\\displaystyle \\ln \\left|\\frac{\\sqrt{x}+1}{\\sqrt{x}-1}\\right|-\\frac{2\\sqrt{x}}{x-1}$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
| null |
Primitives_des_fonctions_réelles
|
210
|
Soient $a$ et $b$ deux réels et $f$ la fonction telle que $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{ax^2+b}}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $a$ et $b$ sont strictement positifs, il existe une constante $C$ telle que $F(x)=C\\arcsin \\left(x\\sqrt{a/b}\\right)$ soit une primitive de $f(x)$.",
"Si $a$ et $b$ sont strictement positifs, il existe une constante $C$ telle que $F(x)=C\\sqrt{ax^2+b}$ soit une primitive de $xf(x)$.",
"Si $a$ est strictement négatif et $b$ est strictement positif, il existe une constante $C$ telle que $F(x)=C\\arcsin \\left(x\\sqrt{-a/b}\\right)$ soit une primitive de $f(x)$.",
"Si $a$ est strictement positif et $b$ est strictement négatif, il existe une constante $C$ telle que $F(x)=C\\arcsin \\left[x\\sqrt{a/(-b)}\\right]$ soit une primitive de $f(x)$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
| null |
Primitives_des_fonctions_réelles
|
211
|
Soit $E=\{(x,y)\in \Rr^2 \, ; \; x+y=1\}$, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ est un espace vectoriel, car $E$ est un sous-ensemble de l'espace vectoriel $\\Rr^2$.",
"$E$ n'est pas un espace vectoriel, car $(0,0)\\notin E$.",
"$E$ n'est pas un espace vectoriel, car $(1,0)\\in E$, mais $(-1,0)\\notin E$.",
"$E$ n'est pas un espace vectoriel, car $(1,0)\\in E$ et $(0,1)\\in E$, mais $(1,1)\\notin E$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
$E$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\Rr^2$, puisque $(0,0) \notin E$.\\
$E$ n'est pas stable par multiplication par un scalaire : $(1,0) \in E$ , mais, $-(1,0)=(-1,0) \notin E$.\\
$E$ n'est pas stable par addition : $(1,0) \in E $ et $(0,1) \in E $, mais $(1,0)+(0,1)=(1,1) \notin E$.
|
Espaces_vectoriels
|
212
|
Soit $E=\{(x,y,z) \in \Rr^3 \, ; \; x-y+z=0\}$, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(0,0,0)\\in E$.",
"$E$ n'est pas stable par addition.",
"$E$ est stable par multiplication par un scalaire.",
"$E$ est un espace vectoriel."
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
$E$ est un sous-espace vectoriel de $\Rr^3$, puisque $(0,0,0) \in E$, $E$ est stable par addition
et multiplication par un scalaire.
|
Espaces_vectoriels
|
213
|
Soit $E=\{(x,y)\in \Rr^2 \, ; \; x-y\ge 0\}$, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ est non vide.",
"$E$ est stable par addition.",
"$E$ est stable par multiplication par un scalaire.",
"$E$ est un sous-espace vectoriel de $\\Rr^2$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
$E$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\Rr^2$, puisque $E$ n'est pas stable par multiplication par un scalaire :
$(1,0) \in E$, mais, $-(1,0)=(-1,0) \notin E $. Cependant, $E$ est stable par addition.
|
Espaces_vectoriels
|
214
|
Soit $E=\{(x,y,z) \in \Rr^3 \, ; \; x-y+z = x+y-3z=0\}$, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ est non vide.",
"$E$ n'est pas stable par addition.",
"$E$ est un espace vectoriel.",
"$E=\\{(x,2x,x) \\, ; \\, x\\in \\Rr \\}$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
$E$ est un sous-espace vectoriel de $\Rr^3$, puisque $(0,0,0)\in E$, $E$ est stable par addition et multiplication par un scalaire.\\
En résolvant le système : $\left\{\begin{array}{rcc}
x-y+z&=&0\\
x+y-3z&=&0\end{array}\right.$, on obtient : $E=\{(x,2x,x) \, ; \, x\in \Rr \}$.
|
Espaces_vectoriels
|
215
|
Soit $E=\{(x,y,z) \in \Rr^3 \, ; \; xy+xz+yz = 0\}$, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(0,0,0)\\in E$.",
"$E$ n'est pas stable par addition.",
"$E$ est stable par multiplication par un scalaire.",
"$E$ est un sous-espace vectoriel de $\\Rr^3$."
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
$E$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\Rr^3$, puisque $E$ n'est pas stable par addition :
$(1,0,0), (0,1,0) \in E$, mais $(1,1,0) \notin E$. Cependant, $E$ est stable par multipliction par un scalaire.
|
Espaces_vectoriels
|
216
|
Soit $E=\{(x,y,z) \in \Rr^3 \, ; \; (x+y)(x+z)=0\}$, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E=\\{(x,y,z) \\in \\Rr^3 \\, ; \\; x+y=x+z=0\\}$.",
"$E=\\{(x,y,z) \\in \\Rr^3 \\, ; \\; x+y=0\\} \\cap \\{(x,y,z) \\in \\Rr^3 ; \\; x+z=0\\}$.",
"$E=\\{(x,y,z) \\in \\Rr^3 \\, ; \\; x+y=0\\} \\cup \\{(x,y,z) \\in \\Rr^3 ; \\; x+z=0\\}$.",
"$E$ n'est pas un espace vectoriel, car $E$ n'est pas stable par addition."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
$E= \{(x,y,z) \in \Rr^3 \, ;\; x+y=0 \; \mbox{ou} \; x+z=0 \} =\{(x,y,z) \in \Rr^3 \, ;\; x+y=0\} \cup
\{(x,y,z) \in \Rr^3 \, ; \; x+z=0\}$.
$E$ n'est pas un espace vectoriel, car $E$ n'est pas stable par addition : $(1,-1,0), (1,0,-1) \in E$, mais,
$(2,-1,-1) \notin E$.
|
Espaces_vectoriels
|
217
|
Soit $E=\{(x,y) \in \Rr^2 \, ; \; e^xe^y=0\}$, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E=\\{(x,y) \\in \\Rr^2 \\, ; \\; x=y \\}$.",
"$E=\\{(x,y) \\in \\Rr^2 \\, ; \\; x=-y \\}$.",
"$E=\\{(0,0)\\}$.",
"$E$ n'est pas un espace vectoriel."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
218
|
Soit $E=\{(x,y) \in \Rr^2 \, ; \; e^xe^y=1\}$, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E=\\{(x,y) \\in \\Rr^2 \\, ; \\; x=y \\}$.",
"$E=\\{(x,y) \\in \\Rr^2 \\, ; \\; x=-y \\}$.",
"$E$ est vide.",
"$E$ est un espace vectoriel."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
219
|
Soit $E=\{(x,y) \in \Rr^2 \, ;\; e^x-e^y=0\}$, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E=\\{(0,0)\\}$.",
"$E=\\{(x,y) \\in \\Rr^2 \\, ; \\; x=y \\ge 0\\}$.",
"$E=\\{(x,x) \\, ; \\; x \\in \\Rr \\}$.",
"$E$ est un espace vectoriel."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
un sous-espace vectoriel de $\Rr^2$.
|
Espaces_vectoriels
|
220
|
Soit $E$ un espace vectoriel. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"L'intersection de deux sous-espaces vectoriels de $E$ peut être vide.",
"Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, alors $F$ contient toute combinaison linéaire d'éléments de $E$.",
"Il existe un sous-espace vectoriel de $E$ qui contient un seul élément.",
"Si $F$ est un sous-ensemble non vide de $E$ qui contient toute combinaison linéaire de deux vecteurs de $F$, alors $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
Le seul sous-espace vectoriel de $E$ qui contient un seul élément est $\{0_E\}$, où $0_E$ est le zéro de $E$.\\
Un sous-ensemble non vide de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement
s'il contient toute combinaison linéaire d'éléments de $F$. Ceci revient à dire que $F$ contient
toute combinaison linéaire de deux éléments de $F$.
|
Espaces_vectoriels
|
221
|
Soit $E$ un $\Rr$-espace vectoriel non nul et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $F\nsubseteq G$ et $G\nsubseteq F$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$F+G =\\{x+y\\, ; \\, x\\in F \\,\\mbox {et}\\, y \\in G \\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.",
"$F\\cap G $ est sous-espace vectoriel de $E$.",
"$F\\cup G $ est sous-espace vectoriel de $E$.",
"$F\\times G = \\{(x,y) \\, ; \\, x \\in F\\,\\mbox {et}\\, y \\in G \\}$ est un sous-espace vectoriel de $E\\times E$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
222
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Les sous-espaces vectoriels de $\\Rr^2$ sont les droites vectorielles.",
"Les sous-espaces vectoriels non nuls de $\\Rr^2$ sont les droites vectorielles et $\\Rr^2$.",
"Les sous-espaces vectoriels de $\\Rr^3$ sont les plans vectoriels.",
"Les sous-espaces vectoriels non nuls de $\\Rr^3$ qui sont strictement inclus dans $\\Rr^3$ sont les droites vectorielles et les plans vectoriels."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
223
|
Soit $\Rr_2[X]$ l'espace des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à $2$, muni des opérations usuelles et
$E=\{P \in \Rr_2[X] \, ; \; P(1)=1\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ est vide.",
"$E$ est stable par addition.",
"$E$ n'est pas stable par multiplication par un scalaire.",
"$E$ n'est pas un espace vectoriel."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
$E$ n'est stable ni par addition ni par multiplication par un scalaire.
|
Espaces_vectoriels
|
224
|
Soit $n$ un entier $\ge 1$ et $E=\{P \in \Rr[X] \, ; \, \deg P=n\}$, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$0\\in E$.",
"$E$ est stable par addition.",
"$E$ est stable par multiplication par un scalaire.",
"$E$ n'est pas un espace vectoriel."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
225
|
Soit $n$ un entier $\ge 1$ et $E=\{P \in \Rr[X] \, ; \, \deg P< n\}$, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$0\\notin E$.",
"$E$ est stable par addition.",
"$E$ est stable par multiplication par un scalaire.",
"$E$ n'est pas un espace vectoriel."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
226
|
Soit $E=\{f:\Rr \to \Rr \, ; \; f\mbox{ est croissante sur }\Rr\}$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"La fonction nulle appartient à $E$.",
"$E$ est stable par addition.",
"$E$ est stable par multiplication par un scalaire.",
"$E$ est un espace vectoriel."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
On vérifie que $E$ est stable par addition. Par contre, $E$ ne l'est pas par multiplication par un scalaire $<0$. Donc
$E$ n'est pas un espace vectoriel.
|
Espaces_vectoriels
|
227
|
Soit $E =\{f :\Rr \to \Rr \, ; \; f\mbox{ est bornée sur }\Rr\}$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"La fonction nulle n'appartient pas à $E$.",
"$E$ est stable par addition.",
"$E$ est stable par multiplication par un scalaire.",
"$E$ n'est pas un espace vectoriel."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
228
|
Soit $E=\{f :\Rr\to \Rr\, ;\, f\mbox{ est dérivable sur }\Rr \mbox{ et }f'(1)=1\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"La fonction nulle n'appartient pas à $E$.",
"$E$ est stable par addition.",
"$E$ est stable par multiplication par un scalaire.",
"$E$ n'est pas un espace vectoriel."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
229
|
Soit $F=\{f:\Rr \to \Rr \, ; \, f\mbox{ est dérivable sur }\Rr \mbox{ et }f'(1)=0\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"La fonction nulle appartient à $E$.",
"$E$ est stable par addition.",
"$E$ est stable par multiplication par un scalaire.",
"$E$ n'est pas un espace vectoriel."
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
230
|
Soit $\displaystyle E =\left\{f :[0,1] \to \Rr \, ; \, f\mbox{ est continue sur } [0,1]\mbox{ et }\int_0^1 f(t) \; dt =1\right\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"La fonction nulle appartient à $E$.",
"$E$ est stable par addition.",
"$E$ est stable par multiplication par un scalaire.",
"$E$ n'est pas un espace vectoriel."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
231
|
Soit $\displaystyle E=\left\{f :[0,1]\to \Rr \, ; \, f\mbox{ est continue sur }[0,1] \mbox{ et } \int_0^1 f(t)\; dt =0\right\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"La fonction nulle appartient à $E$.",
"$E$ est stable par addition.",
"$E$ n'est pas stable par multiplication par un scalaire.",
"$E$ est un espace vectoriel."
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
232
|
On considère $E= (\Rr^*)^2$ muni de l'addition et la multiplication par un réel suivantes :
$$(x,y)+(x',y')=(xx',yy')\quad \mbox{et}\quad \lambda .(x,y)= (\lambda x,\lambda y).$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ est stable par multiplication par un scalaire.",
"L'élément neutre pour l'addition est $(0,0)$.",
"L'inverse, pour l'addition, de $(x,y)$ est $\\displaystyle \\left(\\frac{1}{x}, \\frac{1}{y}\\right)$.",
"$E$ est un $\\Rr$-espace vectoriel."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
233
|
On considère $\Rr^2$ muni de l'addition et la multiplication par un réel suivantes :
$$(x,y)+(x',y')=(x+y',x'+y)\quad \mbox{et}\quad \lambda . (x,y) = (\lambda x, \lambda y).$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ est stable par addition et par multiplication par un scalaire.",
"L'addition est commutative.",
"L'élément neutre pour l'addition est $(0,0)$.",
"$E$ est un $\\Rr$-espace vectoriel."
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
$$(1,0)+(0,0)=(1,0)\quad \mbox{et}\quad (0,0)+(1,0)=(0,1)\neq (1,0).$$
On en déduit que l'addition n'est pas commutative et que $(0,0)$ n'est pas un élément neutre pour cette addition. En particulier, $E$ n'est pas un espace vectoriel.
|
Espaces_vectoriels
|
234
|
On considère $\Rr^2$ muni de l'addition et la multiplication par un réel suivantes :
$$(x,y) + (x',y') = (x+x',y+y')\quad \mbox{et}\quad \lambda .(x,y) = (\lambda x, y).$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ est stable par addition et multiplication par un scalaire.",
"L'élément neutre pour l'addition est $(0,0)$.",
"La multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l'addition.",
"$E$ est un $\\Rr$-espace vectoriel."
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
pour l'addition est $(0,0)$ et que la multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l'addition. Par contre, $E$ n'est pas un espace vectoriel, puisque $0.(0,1) = (0,1) \neq (0,0)$.
|
Espaces_vectoriels
|
235
|
On considère $\Rr^2$ muni de l'addition et la multiplication par un réel suivantes :
$$(x,y) + (x',y') = (x+x',y+y')\quad \mbox{et}\quad \lambda .(x,y) = (\lambda^2 x, \lambda^2 y).$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"L'élément neutre pour l'addition est $(0,0)$.",
"La multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l'addition.",
"L'addition dans $\\Rr$ est distributive par rapport à la multiplication définie ci-dessus.",
"$E$ est un $\\Rr$-espace vectoriel."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
pour l'addition est $(0,0)$ et que la multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l'addition. Par contre, $E$ n'est pas un espace vectoriel, puisque l'addition dans $\Rr$ n'est pas distributive par rapport à la multiplication par un élément de $E$ :
$(1+1).(0,1) = 2.(0,1) = (0,4),$ mais, $1.(0,1)+1.(0,1) = (0,1)+(0,1) = (0,2)$.
|
Espaces_vectoriels
|
236
|
Dans $\Rr^3$, on considère les vecteurs $u_1=(1,1,0), u_2=(0,1,-1)$ et $ u_3=(-1,0,-1)$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{u_1,u_2,u_3\\}$ est une famille libre.",
"$\\{u_1,u_2,u_3\\}$ est une famille génératrice de $\\Rr^3$.",
"$u_3$ est une combinaison linéaire de $u_1$ et $u_2$.",
"$\\{u_1,u_2,u_3\\}$ est une base de $\\Rr^3$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
n'est pas génératrice de $\Rr^3$, sinon, $\{u_1,u_2\}$ serait aussi génératrice de $\Rr^3$, ce qui contredirait
le fait que toute famille génératrice de $\Rr^3$ doit contenir au moins $3$ vecteurs non nuls.
|
Espaces_vectoriels
|
237
|
Dans $\Rr^3$, on considère les vecteurs $u_1=(1,1,1), u_2=(0,1,1)$ et $ u_3=(-1,1,0)$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{u_1,u_2,u_3\\}$ est une famille libre",
"$\\{u_1,u_2,u_3\\}$ est une famille génératrice de $\\Rr^3$",
"$u_2$ est une combinaison linéaire de $u_1$ et $u_3$",
"$\\{u_1,u_2,u_3\\}$ n'est pas une base de $\\Rr^3$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
linéairement indépendants de $\Rr^3$ et la dimension de $\Rr^3$ est $3$, elle est génératrice de $\Rr^3$ et donc c'est une base de $\Rr^3$.
|
Espaces_vectoriels
|
238
|
Soit $E=\{(x,y,z) \in \Rr^3 ; x-y-z=0\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\dim E = 3$",
"$\\dim E = 2$",
"$\\dim E = 1$",
"$\\{(1,0,1),(1,1,0)\\} $ est une base de $E$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
239
|
Dans $\Rr^3$, on considère les vecteurs
$$u_1=(-1,1,2),\quad u_2=(0,1,1),\quad u_3=(-1,0,1),\quad u_4=(0,2,1).$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Le rang de la famille $\\{u_1,u_2\\}$ est $2$",
"Le rang de la famille $\\{u_1,u_2,u_3\\}$ est $3$",
"Le rang de la famille $\\{u_1,u_2,u_3,u_4\\}$ est $4$",
"Le rang de la famille $\\{u_1,u_2,u_4\\}$ est $3$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
engendré par ces vecteurs. Autrement dit, c'est le nombre maximum de vecteurs de cette famille qui sont linéairement indépendants. On vérifie que $u_1=u_2+u_3 $ et que $\{u_1,u_2,u_4\}$ est libre.
|
Espaces_vectoriels
|
240
|
Dans $\Rr^4$, on considère les vecteurs $u_1=(1,1,-1,0)$, $u_2=(0,1,1,1)$ et $u_3=(1,-1,a,b)$, où $a$ et $b$ sont des réels. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\forall \\, a,b \\in \\Rr, u_3 \\notin \\mbox{Vect}\\{u_1,u_2\\}$",
"$\\exists \\, a,b \\in \\Rr, u_3 \\in {\\mbox{Vect}} \\{u_1,u_2\\}$",
"$u_3\\in \\mbox{Vect}\\{u_1,u_2\\}$ si et seulement si $a=-3$ et $b=-2$",
"$\\forall \\, a,b \\in \\Rr, \\; \\{u_1,u_2,u_3\\}$ est libre"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
$u_3=\alpha u_1+ \beta u_2$. En résolvant ce système, on obtient $b=-2$ et $a=-3$. Pour $a=-3$ et $b=-2$, la famille $\{u_1,u_2,u_3\}$ n'est pas libre.
|
Espaces_vectoriels
|
241
|
Dans $\Rr_1[X]$, l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré $\le 1$, on considère les polynômes $P_1= X+1, P_2= X-1, P_3 = 1$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{P_1,P_2,P_3\\}$ est une famille libre",
"$\\{P_1,P_2,P_3\\}$ est une famille génératrice de $\\Rr_1[X]$",
"$\\{P_1,P_2,P_3\\}$ est une base de $\\Rr_1[X]$",
"$\\{P_2,P_3\\}$ est une base de $\\Rr_1[X]$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
242
|
Dans $\Rr_2[X]$, l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré $\le 2$, on considère les polynômes $P_1= X, P_2= X(X+1), P_3 = (X+1)^2$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{P_1,P_2,P_3 \\}$ est une famille libre",
"$\\{P_1+P_2,P_3 \\}$ est une famille génératrice de $\\Rr_2[X]$",
"$\\{P_1,P_2,P_3 \\}$ est une base de $\\Rr_2[X]$",
"$\\{P_2,P_3 \\}$ est une base de $\\Rr_2[X]$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
$3$ polynômes et la dimension de $\Rr_2[X]$ est $3$, donc c'est une base de $\Rr_2[X]$.
|
Espaces_vectoriels
|
243
|
Dans $\Rr_2[X]$, l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré $\le 2$, on considère les polynômes $P_1= 1-X, P_2= 1+X, P_3 = X^2$ et $P_4=1+X^2$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Le rang de la famille $\\{P_4\\}$ est $4$",
"Le rang de la famille $\\{P_3,P_4\\}$ est $2$",
"Le rang de la famille $\\{P_2,P_3,P_4\\}$ est $2$",
"Le rang de la famille $\\{P_1,P_2,P_3,P_4\\}$ est $3$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
engendré par ces vecteurs. Autrement dit, c'est le nombre maximum de vecteurs de cette famille qui sont linéairement indépendants.
|
Espaces_vectoriels
|
244
|
Soit $E \{(x,y,z,t) \in \Rr^4 \, ; \, x^2+y^2 +z^2+t^2=0\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ est un espace vectoriel de dimension $0$",
"$E$ est un espace vectoriel de dimension $1$",
"$E$ est un espace vectoriel de dimension $2$",
"$E$ n'est pas un espace vectoriel"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
245
|
Soit $E=\{(x,y,z,t) \in \Rr^4 \, ; \, |x+y|e^{z+t}=0\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ est un espace vectoriel de dimension $1$",
"$E$ est un espace vectoriel de dimension $2$",
"$E$ est un espace vectoriel de dimension $3$",
"$E$ n'est pas un espace vectoriel"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
246
|
Soit $E=\{(x,y,z) \in \Rr^3\; ;\; y-x+z=0\mbox{ et }x=2y\}$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{(2,1,1)\\}$ est une base de $E$",
"$\\dim E = 3$",
"$E$ est un plan",
"$E=\\mbox {Vect}\\{(2,1,1)\\}$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
247
|
Soit $E=\{(x+z,z,z) \, ; \, x,z \in \Rr\}$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{(1,1,1), (1,0,0),(0,1,1) \\} $ est une base de $E$",
"$\\{(1,1,1),(1,0,0)\\} $ est une base de $E$",
"$\\{(1,0,0),(0,1,1)\\} $ est une base de $E$",
"$\\dim E = 3$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
248
|
Dans $\Rr_3[X]$, l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré $\le 3$, on considère les polynômes $P_1= X^3+1, P_2= P'_1 $ (la dérivée de $P_1$) et $ P_3 = P''_1$ (la dérivée seconde de $P_1$). Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Le rang de la famille $\\{P_1, P_3 \\}$ est $3$",
"$\\{P_1,P_2,P_3 \\}$ est une famille génératrice de $\\Rr_3[X]$",
"$\\{P_1,P_2,P_3 \\}$ est une famille libre de $\\Rr_3[X]$",
"Le rang de la famille $\\{P_1, P_2,P_3 \\}$ est $3$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
distincts). Par contre, elle n'est pas génératrice de $\Rr_3[X]$, puisque la dimension de cet espace est $4$.
\vskip2mm
Le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par ces vecteurs. Autrement dit, c'est le nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants de cette famille.
|
Espaces_vectoriels
|
249
|
Soit $E$ un espace vectoriel sur $\Rr$ de dimension $3$ et$v_1,v_2,v_3$ des vecteurs linéairement indépendants de $E$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{v_1,v_2,v_3\\}$ est une famille génératrice de $E$",
"$\\{v_1,v_2,v_1+v_3\\}$ est une base de $E$",
"$\\{v_1-v_2,v_1+v_3\\}$ est une base de $E$",
"$\\{v_1-v_2,v_1+v_3\\}$ est famille libre de $E$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
elle est génératrice et donc c'est une base de $E$.
\vskip2mm
On vérifie aussi que $\{v_1,v_2,v_1+v_3\}$ est une famille libre,
et donc pour les mêmes raisons que précédemment, c'est une base de $E$.
|
Espaces_vectoriels
|
250
|
Soit $E \{(x,y,z,t) \in \Rr^4 \, ; \, (x^2+y^2)(z^2+t^2)=0\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ est un espace vectoriel de dimension $0$",
"$E$ est un espace vectoriel de dimension $1$",
"$E$ est un espace vectoriel de dimension $2$",
"$E$ n'est pas un espace vectoriel"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
251
|
Soit $n$ un entier $\ge 3$ et $E=\{(x_1,x_2, \dots , x_n) \in \Rr^n \, ; \, x_1=x_2=\dots =x_n\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\dim E = n-1$",
"$\\dim E = n$",
"$\\dim E = 1$",
"$E=\\Rr$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
252
|
Dans l'espace vectoriel $\Rr^3$, on pose $u_1=(1,0,1), u_2=(-1,1,1)$, $u_3=(1,-1,0)$ et on considère les sous-espaces vectoriels $E=\mbox {Vect}\{u_1,u_2\}$ et $F=\mbox {Vect}\{u_3\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ est un plan vectoriel",
"Une équation cartésienne de $E$ est $x+2y+z=0$",
"$F$ est une droite vectorielle",
"Une équation cartésienne de $F$ est $z=0$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Soit $M(x,y,z)$ un vecteur de $\Rr^3$. $M \in E$ si et seulement s'il existe $a,b \in \Rr$ tels que $M=au_1+bu_2$. En résolvant ce système, on obtient une équation cartésienne de $E$ : $x+2y-z=0$.
\vskip2mm
$F$ est une droite vectorielle ; c'est donc l'intersection de deux plans de $\Rr^3$. Soit $M(x,y,z)$ un vecteur de $\Rr^3$. $M \in F$ si et seulement s'il existe un réel $a$ tels que $M=au_3$. En
résolvant ce système, on obtient une représentation cartésienne de $F$ : $(\mathtt{S})
\left\{\begin{array}{rcc}x+y&=&0\\
z&=&0.\end{array}\right.$
|
Espaces_vectoriels
|
253
|
On note $\Rr_2[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré $\le 2$. Soit
$$E=\{P \in \Rr_2[X] \, ; \, P(1)=P'(1)=0\},$$
où $P'$ est la dérivée de $P$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{X-1 \\} $ est une base de $E$",
"$\\{(X-1)^2\\} $ est une base de $E$",
"$\\dim E = 2$",
"$\\dim E = 1$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
254
|
Soit $E=\{P= aX^3+b(X^3-1) \, ; \, a,b \in \Rr\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\dim E = 3$",
"$\\{1,X^3\\} $ est une base de $E$",
"$\\{X^3-1\\}$ est une base de $E$",
"$\\dim E = 1$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
255
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{1\\}$ est une base de $\\Rr$ comme $\\Rr$-espace vectoriel",
"$\\{\\sqrt 2\\}$ est une base de $\\Rr$ comme $\\Rr$-espace vectoriel",
"$\\{1,\\sqrt 2\\}$ est une base de $\\Rr$ comme $\\Rr$-espace vectoriel",
"$\\{1, \\sqrt 2\\}$ est une base de $\\Rr$ comme $\\Qq$-espace vectoriel"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
est une base de $\Rr$.
\vskip2mm
$\{1, \sqrt 2\}$ n'est pas une base de $\Rr$ comme $\Qq$-espace vectoriel. En effet, sinon, il existe $\alpha, \beta \in \Qq$ tels que $\sqrt 3= \alpha+ \beta \sqrt 2$. En considérant le carré de cette égalité, on déduit que $\sqrt 2$ est un rationnel, ce qui est absurde.
|
Espaces_vectoriels
|
256
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{1\\}$ est une base de $\\Cc$ comme $\\Rr$-espace vectoriel",
"$\\{i\\}$ est une base de $\\Cc$ comme $\\Cc$-espace vectoriel",
"$\\{i, 1+i\\}$ est une base de $\\Cc$ comme $\\Rr$-espace vectoriel",
"$1$ et $i$ sont $\\Cc$ linéairement indépendants"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
257
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{(1,0),(1,1)\\}$ est une base de $\\Cc^2$ comme $\\Cc$-espace vectoriel",
"La dimension de $\\Cc^2$ comme $\\Rr$-espace vectoriel est $4$",
"$\\{(1,0),(0,i),(i,0),(0,1)\\}$ est une base de $\\Cc^2$ comme $\\Rr$-espace vectoriel",
"La dimension de $\\Cc^2$ comme $\\Rr$-espace vectoriel est $2$"
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
\vskip2mm
D'autre part $\Cc^2$ est un $\Rr$-espace vectoriel de dimension $4$. Par conséquent, toute famille $\{(a,b), (a',b'), (c,d), (c',d')\}$, de vecteurs de $\Cc^2$ linéairement indépendants sur $\Rr$, est une $\Rr$-base de $\Cc^2$.
|
Espaces_vectoriels
|
258
|
Soit $n$ et $p$ deux entiers tels que $n >p \ge 1$, $E$ un espace vectoriel sur $\Rr$ de dimension $n$, et $v_1,v_2, \dots, v_p$ des vecteurs linéairement indépendants de $E$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{v_1,v_2, \\dots, v_p\\}$ est une base de $E$",
"Il existe des vecteurs $u_1, \\dots , u_k$ de $E$ tels que $\\{v_1,v_2, \\dots, v_p, u_1, \\dots , u_k\\}$ soit une base de $E$",
"$\\{v_1,v_2, \\dots, v_{p-1}\\}$ est une famille libre de $E$",
"$\\{v_1,v_2, \\dots, v_{p}\\}$ est une famille génératrice de $E$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
\vskip2mm
D'autre part, $\{v_1,v_2, \dots, v_{p-1}\}$ est libre, puisque toute famille extraite d'une famille libre est libre.
|
Espaces_vectoriels
|
259
|
On considère les fonctions réelles $f_1, f_2$ et $f_3$ définies par :
$$f_1(x)=\sin x,\quad f_2(x)= \cos x,\quad f_3(x)= \sin x \cos x$$
et $E$ l'espace engendré par ces fonctions. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{f_1,f_2\\}$ est une base de $E$",
"$\\{f_1,f_3\\}$ est une base de $E$",
"$\\dim E=2$",
"$\\dim E=3$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
$$a\sin x +b\cos x+c\sin x \cos x = 0,\mbox{ pour tout }x\in \Rr.$$
En prenant $x=0$, puis, $x=\frac{\pi}{2}$, on démontre que $b=a=c=0$. Par conséquent, $\{f_1, f_2, f_3\}$ est une base de $E$ et donc $\dim E =3$.
|
Espaces_vectoriels
|
260
|
Soit $n$ un entier $\geq 2$. On considère les fonctions réelles $f_1, f_2, \dots , f_n$, définies par :
$$f_1(x)=e^x,\quad f_2(x)= e^{2x},\quad \dots ,\quad f_n(x) = e^{nx}$$
et $E$ l'espace vectoriel engendré par ces fonctions. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ est un espace vectoriel de dimension $n-2$",
"$E$ est un espace vectoriel de dimension $n-1$",
"$E$ est un espace vectoriel de dimension $n$",
"$E$ est un espace vectoriel de dimension infinie"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
pour tout réel $x$. En divisant par $e^x$ et en faisant tendre $x$ vers $-\infty$, on obtient $\lambda_1=0$. Puis, en divisant par $e^{2x}$ et en faisant tendre $x$ vers $-\infty$, on obtient $\lambda_2=0$. En appliquant ce raisonnement $n$ fois, on démontre que tous les $\lambda_i$ sont nuls. Par conséquent,
$\{f_1, f_2, \dots , f_n\}$ est une base de $E$ et donc $\dim E =n$.
|
Espaces_vectoriels
|
261
|
On considère les deux sous-espaces vectoriels de $\Rr^4$ :
$$E= \mbox {vect} \{u_1,u_2,u_3\},\mbox{ où }u_1=(1,-1,0,1), \; u_2=(1,0,1,0),\; u_3=(3,-1,1,2)$$
et
$$F=\{(x,y,z,t)\in \Rr^4\, ;\, x+y-z=0\; \mbox{et}\; y+z=0\}.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\dim E = 3$",
"$\\dim E\\cap F = 1$",
"$E+F= \\Rr^4$",
"$E$ et $F$ sont supplémentaires dans $\\Rr^4$"
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
que $F=\mbox {vect} \{v_1,v_2\}$, où $v_1=(2,-1,1,0)$ et $ v_2=(0,0,0,1)$. Par conséquent, $\dim E=3$ et $\dim F=2$.
\vskip1mm
Il y a une seule relation de dépendance entre $u_1,u_2,u_3,v_1$ et $v_2$. Soit : $u_1+u_2-v_1-v_2=0$. On déduit que $\{u_1,u_2,u_3, v_1\}$ est une base de $E+F$, donc $\dim (E+F)=4$ et comme $E+F$ est un sous-espace de $\Rr^4$ et $\dim \Rr^4=4$, $E+F= \Rr^4$. Du théorème de la dimension d'une somme, on déduit que $\dim E\cap F=1$, donc $E$ et $F$ ne sont pas supplémentaires dans $\Rr^4$.
|
Espaces_vectoriels
|
262
|
On considère les deux sous-espaces vectoriels de $\Rr^4$ :
$$E=\{(x,y,z,t)\in \Rr^4\, ; \, x+y = y+z=0\}\; \mbox{ et }\; F=\{(x,y,z,t)\in \Rr^4\, ;\, x+y+z+t=0\}.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\dim E= 1$",
"$\\dim F = 3$",
"$\\dim E\\cap F = 1$",
"$E$ et $F$ sont supplémentaires dans $\\Rr^4$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Une base de $F$ est $\{v_1,v_2,v_3\}$, où $v_1= (1,0,0,-1), v_2= (0,1,0,-1)$ et $v_3= (0,0,1,-1)$, donc $\dim F=3$.
$E\cap F =\{(x,y,z,t) \in \Rr^4 \, ; \, x+y = y+z=z+t=0\}$. Une base de $E\cap F$ est $\{w\}$, où $w=(1,-1,1,-1)$, donc
$\dim E\cap F =1$ et donc $E$ et $F$ ne sont pas supplémentaires dans $\Rr^4$.
|
Espaces_vectoriels
|
263
|
On considère les deux sous-espaces vectoriels de $\Rr^4$ :
$$E= \{(x,y,z,t) \in \Rr^4 \, ; \; x-y=y-z=t=0\}\; \mbox{ et }\; F= \{(x,y,z,t) \in \Rr^4 \, ; \; z=x+y \}.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\dim E= 1$",
"$\\dim F = 2$",
"$\\dim E\\cap F = 1$",
"$E$ et $F$ sont supplémentaires dans $\\Rr^4$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
264
|
Dans $\Rr_3[X]$, l'espace des polynômes à coefficients réels de degré $\le 3$, on considère les deux sous-espaces vectoriels :
$$E= \{P \in \Rr_3[X] \, ; \; P(0)=P(1)=0\}\; \mbox{ et }\; F= \{(P\in \Rr_3[X] \, ; \; P'(0)=P''(0)=0 \},$$
où $P'$ (resp. $P''$) est la dérivée première (resp. seconde) de $P$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\dim E= 3$",
"$\\dim F = 1$",
"$E+F=\\Rr_3[X]$",
"$E$ et $F$ sont supplémentaires dans $\\Rr_3[X]$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
265
|
Dans $\Rr_3[X]$, l'espace des polynômes à coefficients réels de degré $\le 3$, on considère les deux sous-espaces vectoriels :
$$E=\{P = a(X-1)^2 +b(X-1)+c\; ;\; a,b,c\in \Rr\}\;\mbox{ et }\; F= \{P= aX^3 +bX^2\; ; \; a,b \in \Rr\}.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\dim E= 2$",
"$\\dim E\\cap F = 1$",
"$E$ et $F$ sont supplémentaires dans $\\Rr_3[X]$",
"$E+F=\\Rr_3[X]$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Une base de $F$ est $\{Q_1,Q_2\}$, où $Q_1=X^2$ et $Q_2=X^3$, donc $\dim F=2$. En cherchant les relations de dépendance
entre les polynômes $P_1,P_2,P_3, Q_1$ et $Q_2$, on trouve : $P_1+2P_2+P_3= Q_1$. Par conséquent, $E\cap F = \mbox{Vect} \{Q_1\}$, donc $E$ et $F$ ne sont pas supplémentaires dans $\Rr_3[X]$. Du théorème de la dimension d'une somme, on déduit que $\dim (E+F) = 4$ et comme $E+F$ est un sous-espace de $\Rr_3[X]$ et $\dim \Rr_3[X]=4$, $E+F= \Rr_3[X]$.
|
Espaces_vectoriels
|
266
|
Dans $\Rr_3[X]$, l'espace des polynômes à coefficients réels de degré $\le 3$, on considère les deux sous-espaces vectoriels :
$$E=\{P\in \Rr_3[X]\; ; \; P(-X)=P(X)\}\; \mbox{ et }\; F=\{P\in \Rr_3[X]\; ; \; P(-X)=-P(X)\}.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\dim E= 2$",
"$\\dim F = 3$",
"$\\dim E\\cap F = 1$",
"$E$ et $F$ sont supplémentaires dans $\\Rr_3[X]$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Espaces_vectoriels
|
|
267
|
On considère les deux applications suivantes :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr&\to&\Rr\\
& x&\to & \sin x \end{array} \quad \mbox{et} \quad \begin{array}{rccc}g:&\Rr^2&\to&\Rr^2\\
& (x,y)&\to &(y,x). \end{array}$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f(0)=0$",
"$f$ est une application linéaire",
"$g(x,y) = g(y,x)$, pour tout $(x,y) \\in \\Rr^2$",
"$g$ est une application linéaire"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
et $f(\frac{\pi}{2})+ f(\frac{\pi}{2}) =2$.
On vérifie que $g$ est linéaire.
|
Applications_linéaires_
|
269
|
On considère les deux applications suivantes :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr^3&\to&\Rr^2\\
& (x,y,z)&\to &(x+y,x-z) \end{array} \quad \mbox{et} \quad \begin{array}{rccc}g:&\Rr^3&\to&\Rr^2\\
& (x,y,z)&\to &(xy,xz). \end{array}$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f(0,0,0)=(0,0)$",
"$f$ est une application linéaire",
"$g(1,1,0)=g(1,0,0)+ g(0,1,0)$",
"$g$ est une application linéaire"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
puisque $g((1,0,0)+ (0,1,0)) = g(1,1,0) = (1,0)$ et $ g(1,0,0)+ g(0,1,0) = (0,0)$.
|
Applications_linéaires_
|
270
|
On note $\Rr_n[X]$ l'espace des polynômes à coefficients réels de degré $\le n$, $n\in \Nn$. On considère les deux applications suivantes :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr_3[X]&\to&\Rr\\
& P&\to &P(0)+P'(0)\, \end{array} \quad \mbox{et} \quad \begin{array}{rccc}g:&\Rr_3[X]&\to&\Rr_2[X]\\
& P&\to &1+P'+XP'',\end{array}$$
où $P'$ (resp. $P''$) est la dérivée première (resp. seconde) de $P$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f(0)=1$",
"$f$ est une application linéaire",
"$g(0)=1$",
"$g$ est une application linéaire"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Applications_linéaires_
|
|
271
|
On considère les applications suivantes :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Cc&\to&\Cc\\
& z&\to& \Re (z)\end{array} \quad \mbox{et} \quad \begin{array}{rccc}g:&\Cc&\to&\Cc\\
& z&\to& \Im (z), \end{array}$$
où $\Re (z)$ (resp. $\Im (z)$) est la partie réelle (resp. imaginaire) de $z$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ est $\\Cc$-linéaire",
"$f$ est $\\Rr$-linéaire",
"$g$ est $\\Rr$-linéaire",
"$g$ est $\\Cc$-linéaire"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Applications_linéaires_
|
|
272
|
On considère les applications suivantes :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Cc&\to&\Cc\\
& z&\to& |z|\end{array} \quad \mbox{et} \quad \begin{array}{rccc}g:&\Cc&\to&\Cc\\
& z&\to& \overline{z},
\end{array} $$
où $|z|$ (resp. $\overline{z}$) est le module (resp. le conjugué) de $z$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ est $\\Cc$-linéaire",
"$f$ est $\\Rr$-linéaire",
"$g$ est $\\Rr$-linéaire",
"$g$ est $\\Cc$-linéaire"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Applications_linéaires_
|
|
273
|
On considère les deux applications suivantes :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr^2&\to&\Rr\\
& (x,y)&\to & |x+y| \end{array} \quad \mbox{et} \quad \begin{array}{rccc}g:&\Rr^2&\to&\Rr^2\\
& (x,y)&\to &\big(\max (x,y)\, , \, \min (x,y)\, \big). \end{array}$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f(1,-1)=0$",
"$f$ est une application linéaire",
"$g(0,0)=(0,0)$",
"$g$ est une application linéaire"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
\vskip0mm
$g$ n'est pas linéaire. Contre-exemple : $g((1,0)+(-1,0))=g(0,0)=(0,0)$
et $g(1,0)+g(-1,0)=(1,0)+(0,-1)=(1,-1)$.
|
Applications_linéaires_
|
274
|
On considère les applications suivantes :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr^3&\to&\Rr^2\\
& (x,y,z)&\to &(x-y,y+2z+a) \, \end{array} \quad \mbox{et} \quad \begin{array}{rccc}g:&\Rr^3&\to&\Rr\\
& (x,y,z)&\to &(ax+b)(x+y).\end{array} $$
où $a$ et $b$ sont des réels. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Pour tout $a\\in \\Rr$, $f$ est une application linéaire",
"$f$ est une application linéaire si et seulement si $a=0$",
"$g$ est une application linéaire si et seulement si $a=b=0$",
"$g$ est une application linéaire si et seulement si $a=0$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
\vskip0mm
Si $a\neq 0$, $g(2(1,0,0))=4a+2b$ et $2g(1,0,0)=2a+2b \neq 4a+2b$, donc $g$ n'est pas linéaire.
\vskip0mm
On vérifie que si $a=0$ et $b$ est quelconque, $g$ est linéaire.
|
Applications_linéaires_
|
275
|
On considère les applications suivantes :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr^3&\to&\Rr^2\\
& (x,y,z)&\to &(z,x+ax^2) \, \end{array} \quad \mbox{et} \quad \begin{array}{rccc}g:&\Rr^3&\to&\Rr^3\\
& (x,y,z)&\to &(z+a\sin x, y+be^x, c|x|+1).\end{array} $$
où $a,b$ et $c$ sont des réels. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Pour tout $a\\in \\Rr$, $f$ est une application linéaire",
"$f$ est une application linéaire si et seulement si $a=0$",
"$g$ est une application linéaire si et seulement si $a=b=c=0$",
"Pour tous $a,b, c \\in \\Rr$, $g$ n'est pas une application linéaire"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
tous réels $a,b$ et $c$.
|
Applications_linéaires_
|
276
|
On note $\Rr_n[X]$ l'espace des polynômes à coefficients réels de degré $\le n$, $n\in \Nn$. On considère les deux applications suivantes :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr_3[X]&\to&\Rr_2[X]\\
& P&\to &R \end{array} \quad \mbox{et} \quad
\begin{array}{rccc}g:&\Rr_3[X]&\to& \Rr_2[X]\\
& P&\to &Q,\end{array}$$
où $R$ (resp. $Q$) est le reste (resp. le quotient) de la division euclidienne de $P$ par $X^3+1$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f(0)=0$",
"$f$ est une application linéaire",
"$g(0)=0$",
"$g$ n'est pas une application linéaire"
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
Applications_linéaires_
|
|
277
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Une application $f:\\Rr \\to \\Rr$ est linéaire si et seulement s'il existe un réel $a$ tel que $f(x)=ax$, pour tout $x\\in \\Rr$",
"Une application $f:\\Rr^2 \\to \\Rr^2$ est linéaire si et seulement s'il existe des réels $a$ et $b$ tels que $f(x,y)=(ax,by)$, pour tout $(x,y) \\in \\Rr^2$",
"Une application $f:\\Rr^2 \\to \\Rr^2$ est linéaire si et seulement s'il existe des réels $a,b,c$ et $d$ tels que $f(x,y)=(ax+by,cx+dy)$, pour tout $(x,y)\\in \\Rr^2$",
"Une application $f:\\Rr^3 \\to \\Rr^3$ est linéaire si et seulement s'il existe des réels $a,b$ et $c$ tels que $f(x,y,z)=(ax,by,cz)$, pour tout $(x,y,z)\\in \\Rr^3$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Applications_linéaires_
|
|
278
|
Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels et $f:E\to F$ une application linéaire. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\ker f$ peut-être vide",
"$\\ker f$ est un sous-espace vectoriel de $E$",
"$0_E \\in \\Im f$",
"$\\Im f$ est un sous-espace vectoriel de $F$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
\vskip0mm
$\Im f $ est un sous-espace vectoriel de $F$, il contient au moins $0_F$, puisque $f(0_E)=0_F$.
|
Applications_linéaires_
|
279
|
Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels et $f:E\to F$ une application linéaire.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ est injective si et seulement si $\\ker f$ est vide",
"$f$ est injective si et seulement si $\\ker f$ est une droite vectorielle",
"$f$ est surjective si et seulement si $\\Im f=F$",
"$f$ est bijective si et seulement si $\\Im f=F$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
| null |
Applications_linéaires_
|
280
|
Soit $f$ une application linéaire de $\Rr^3$ dans $\Rr^5$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $\\ker f = \\{(0,0,0)\\}$, alors $f$ est surjective",
"Si $\\ker f $ est une droite vectorielle, alors $\\Im f $ est un plan vectoriel",
"$f$ est injective si seulement si $\\dim \\Im f =3$",
"$f$ est bijective si et seulement si $\\ker f=\\{(0,0,0)\\}$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Applications_linéaires_
|
|
281
|
On considère l' application linéaire :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr^3&\to&\Rr^3\\
& (x,y,z)&\to &(x-z,y+z,x+y). \end{array}$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{(1,-1,1)\\}$ est une base de $\\ker f$",
"$f$ est injective",
"$\\{(1,0,1), (0,1,1)\\}$ est une base de $\\Im f$",
"$f$ est surjective"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
\vskip0mm
D'après le théorème du rang, $\dim \Im f = 2 $ et comme
$f(e_1)=(1,0,1)$ et $ f(e_2)=(0,1,1)$ ne sont pas colinéaires, ils forment une base de $\Im f$. Comme $\dim \Im f = 2 $, $\Im f \neq \Rr^3 $, donc $f$ n'est pas surjective.
|
Applications_linéaires_
|
282
|
On considère l' application linéaire :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr^3&\to&\Rr^3\\
& (x,y,z)&\to &(x-y,y-z,x+z). \, \end{array}$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\dim \\ker f = 1$",
"$f$ est injective",
"$\\dim \\Im f = 3$",
"$f$ n'est pas bijective"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
\vskip0mm
D'après le théorème du rang, $\dim \Im f = 3=\dim \Rr^3$ et comme $\Im f$ est un sous-espace de $\Rr^3$, $\Im f=\Rr^3$, donc $f$ est surjective. Par conséquent, $f$ est bijective.
|
Applications_linéaires_
|
283
|
On considère l' application linéaire :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr^3&\to&\Rr^2\\
& (x,y,z)&\to &(x+y+z, x+y-z). \, \end{array}$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\dim \\ker f = 1$",
"$f$ est injective",
"$\\mbox{rg} (f) =1$",
"$f$ n'est pas bijective"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Applications_linéaires_
|
|
284
|
On considère $\Rr^3$ muni de la base canonique ${\cal{ B}}= \{e_1,e_2,e_3\}$ et $f$ l'endomorphisme de $\Rr^3$ défini par
$f(e_1)= e_3,\, f(e_2)= e_1+e_2,\, f(e_3)= e_1+e_2+e_3$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{e_1+e_2-e_3\\}$ est une base de $\\Im f $",
"$\\dim \\Im f =2$",
"$\\{e_1+e_2-e_3\\}$ est une base de $\\ker f$",
"$\\dim \\ker f=2 $"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
\vskip0mm
D'après le théorème du rang, $\dim \ker f = 1 $ et comme $f(e_1+e_2-e_3) = 0$ et $e_1+e_2-e_3 \neq 0$, $\{e_1+e_2-e_3\}$ est une base de $\ker f$.
|
Applications_linéaires_
|
285
|
On considère l' application linéaire :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr_2[X]&\to&\Rr_2[X]\\
& P&\to &P', \end{array}$$
où $\Rr_2[X]$ est l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré $\le 2$ et $P'$ est la dérivée de $P$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{1\\}$ est une base de $\\ker f $",
"$\\{1, X\\}$ est une base de $\\Im f $",
"$\\{0, 1, X\\}$ est une base de $\\Im f $",
"$f$ est surjective"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
\vskip0mm
D'après le théorème du rang, $\dim \Im f = 2 $ et comme $f(X)=1$ et $ f(X^2) = 2X$ ne sont pas colinéaires, $\{1,X\}$ est une base de $\Im f$. Donc $f$ n'est pas surjective, puisque $\dim \Im f = 2 $ et
$\dim \Rr_2[X] =3 $.
|
Applications_linéaires_
|
286
|
On considère l'application linéaire :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr_2[X]&\to&\Rr_2[X]\\
& P&\to &XP'-X^2P'', \end{array}$$
où $\Rr_2[X]$ est l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré $\le 2$ et $P'$ (resp. $P''$) est la dérivée première (resp. seconde) de $P$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{1+X^2\\}$ est une base de $\\ker f $",
"$\\{1, X^2\\}$ est une base de $\\ker f $",
"$\\{1+X\\}$ est une base de $\\Im f $",
"$\\mbox{rg} (f) =1$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Applications_linéaires_
|
|
287
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On note $\Rr_n[X]$ l'espace des polynômes à coefficients réels de degré $\le n$, $n\in \Nn$. On considère l'application linéaire :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr_3[X]&\to&\Rr_2[X]\\
& P&\to & R, \end{array}$$
où $R$ est le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X+1)^3$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$\\{X^3\\}$ est une base de $\\ker f $",
"$\\dim \\ker f =1$",
"$\\{1+X+X^2\\}$ est une base de $\\Im f $",
"$\\mbox{rg} (f) =3$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
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Applications_linéaires_
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288
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On considère $\Rr_3[X]$, l'espace des polynômes à coefficients réels de degré $\le 3$, muni de sa base canonique ${\cal{ B}}= \{1,X,X^2,X^3\} $ et $f$ l'endomorphisme de $\Rr_3[X]$
défini par :
$$f(1)=X,\; f(X)=1+X,\; f(X^2)= (X-1)^2,\; f(X^3)=(X-1)^3.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$\\dim \\ker f =1$",
"$f$ est injective",
"$f$ n'est pas injective",
"$\\mbox{rg} (f)=4$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
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$$P\in \ker f\Leftrightarrow a(X-1)^3+b(X-1)^2+(c+d)(X-1)+2c+d=0.$$ Comme $\{1,X-1,(X-1)^2,(X-1)^3\}$ est une famille libre, on déduit que $P=0$. Donc $\dim \ker f=0$ et $f$ est injective.
\vskip0mm
D'après le théorème du rang, $\mbox{rg}(f)=\dim \Im f=4$ et comme $\Im f$ est un sous-espace vectoriel de $\Rr_3[X]$, $\Im f=\Rr_3[X]$ et donc $f$ est surjective.
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Applications_linéaires_
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289
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Soit $E$ et $F$ deux $\Rr$-espaces vectoriels de dimensions finies et $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. On pose $\dim E=n $ et $\dim F=m$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"Si $f$ est injective, alors $n \\le m$",
"Si $n \\le m$, alors $f$ est injective",
"Si $f$ est surjective, alors $n \\ge m$",
"Si $n \\ge m$, alors $f$ est surjective"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
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\vskip0mm
Du théorème du rang, on déduit que si $n>m$, $\dim \ker f >0$ et donc $f$ n'est pas injective et que si $n<m$, $\dim \Im f <m$ et donc $f$ n'est pas surjective.
\vskip0mm
Si $n\le m$, alors $f$ n'est pas nécessairement injective et si $n \ge m$, alors $f$ n'est pas nécessairement surjective. Exemple : L'application nulle de $\Rr$ dans $\Rr$.
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Applications_linéaires_
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290
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Soit $E$ et $F$ deux $\Rr$-espaces vectoriels de dimensions finies tels que $\dim E= \dim F=n$ et $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"Si $\\dim \\ker f =0$, alors $\\dim \\Im f <n$",
"si $f$ est injective, alors $f$ est surjective",
"Si $\\dim \\Im f <n$, alors $\\dim \\ker f >0$",
"si $f$ est surjective, alors $f$ est injective"
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
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Applications_linéaires_
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291
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Soit $E$ et $F$ deux $\Rr$-espaces vectoriels de dimensions finies
et $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"Si $f$ est injective, alors $f$ est surjective",
"Si $f$ est surjective, alors $f$ est injective",
"Si $\\dim E = \\dim F$, alors $f$ est bijective",
"Si $f$ est bijective, alors $\\dim E = \\dim F$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
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\vskip0mm
Si $\dim E = \dim F$, $f$ n'est pas nécessairement bijective.
\vskip0mm
Par contre, si $f$ est bijective, comme $E$ et $F$ sont deux $\Rr$-espaces vectoriels de dimensions finies, du théorème du rang, on déduit que $\dim E = \dim F$.
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Applications_linéaires_
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292
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Soit $E$ et $F$ deux $\Rr$-espaces vectoriels et $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. Soit $k\in \Nn^*$, ${\cal F} = \{u_1,u_2, \dots , u_k\}$ une famille de vecteurs de $E$ et ${\cal F}' = \{f(u_1),f(u_2), \dots , f(u_k)\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"Si ${\\cal F}$ est une famille libre, alors ${\\cal F}'$ est une famille libre",
"Si ${\\cal F}$ est une famille libre et $f$ est injective, alors ${\\cal F}'$ est une famille libre",
"Si ${\\cal F}$ est une famille génératrice de $E$, alors ${\\cal F}'$ est une famille génératrice de $F$",
"Si ${\\cal F}$ est une famille génératrice de $E$ et $f$ est surjective, alors ${\\cal F}'$ est une famille génératrice de $F$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
\vskip0mm
Par contre, si de plus $f$ est injective, alors ${\cal F}'$ est injective. En effet, soit $\lambda_1, \dots ,\lambda_k $ des réels tels que $\lambda_1f(u_1)+ \dots \lambda_kf(u_k)=0 $, alors
$\lambda_1u_1+ \dots \lambda_ku_k \in \ker f$ et comme $f$ est injective, $\lambda_1u_1+ \dots \lambda_ku_k=0$. Puisque ${\cal F}$ est libre, on déduit que $\lambda_1= \dots= \lambda_k=0 $.
\vskip0mm
Si ${\cal F}$ est génératrice de $E$, ${\cal F}'$ n'est pas nécessairement génératrice de $F$. Exemple : l'application nulle de
$\Rr^2$ dans $\Rr^2$ et ${\cal F}$ la base canonique de $\Rr^2$.
\vskip0mm
Par contre, si de plus $f$ est surjective, alors ${\cal F}'$ est génératrice de $F$. En effet, puisque $f$ est surjective, $F=f(E)$ et comme $E=\mbox{Vect} \, \left({\cal F}\right)$, on déduit que $F=\mbox{Vect} \, \left({\cal F'}\right)$.
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Applications_linéaires_
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293
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On considère $E$ un $\Rr$-espace vectoriel et $f$ un endomorphisme de $E$ tel que : $f^2+f+Id = 0$, où $Id$ est l'application identité de $E$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$\\dim \\ker f = 1$",
"$f$ est injective",
"$f$ est bijective et $f^{-1}=f^2$",
"$f$ est bijective et $f^{-1}=-f-Id$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
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\vskip0mm
De l'égalité $f^2+f+Id = 0$, on déduit que $fo(-f-Id)=Id$, donc $f$ est bijective et $f^{-1}=-f-Id=f^2$.
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Applications_linéaires_
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294
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Soit $E$ un espace vectoriel, $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires dans $E$ et $f$ l'application de $E$ dans $E$ définie par : $$\begin{array}{rccc}f:&E=F\oplus G&\to&E\\
& x=x_1+x_2, \; (x_1\in F, x_2 \in G)&\to &x_1. \end{array}$$
$f$ est appelée la projection vectorielle de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$f$ est un endomorphisme de $E$",
"$f^2=0$",
"$f^2=f$",
"$F=\\Im f$ et $G=\\ker f$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
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Applications_linéaires_
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295
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Soit $E$ un espace vectoriel, $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires dans $E$ et $f$ l'application de $E$ dans $E$ définie par : $$\begin{array}{rccc}f:&E=F\oplus G&\to&E\\
& x=x_1+x_2, \; (x_1\in F, x_2 \in G)&\to &x_1-x_2. \end{array}$$
$f$ est appelée la symétrie vectorielle de $E$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$f$ est un endomorphisme de $E$",
"$f^2=f$",
"$f^2=Id$, où $Id$ est l'identité de $E$",
"$F=\\{x\\in E\\; ;\\; f(x)=x\\}$ et $G=\\{x\\in E\\; ;\\; f(x)=-x\\}$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
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Applications_linéaires_
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296
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Soit $E$ un espace vectoriel et $f$ un projecteur de $E$, c.à.d. un endomorphisme de $E$ tel que $f^2=f$. On notera $Id$ l'identité de $E$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$f$ est injective",
"$Id-f$ est un projecteur de $E$",
"$E=\\ker f\\oplus \\Im f $",
"$\\Im f =\\ker (Id- f) $"
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
\vskip0mm
Comme $f^2=f$, $(Id - f)o(Id - f)=Id - 2f+f^2= Id - f$, donc $Id - f$ est un projecteur.
\vskip0mm
Soit $y\in \Im f \cap \ker f$, alors il existe $x\in E$ tel que $y=f(x)$ et $f(y)=0$, donc $f^2(x)=0$. Or $f^2=f$, on déduit que $y=0$.
\vskip0mm
Soit $x\in E$, alors $x= f(x) + (x-f(x))$. Comme $f(x)\in\Im f$ et $x-f(x)\in\ker f$, on déduit que $E=\ker f+\Im f $. Par conséquent, $E=\ker f \oplus \Im f$.
\vskip0mm
Soit $y\in\Im f,$ alors il existe $x\in E$ tel que $y=f(x)$, donc $(Id-f)(y)=f(x)-f^2(x)=0,$ puisque $f^2=f$. Réciproquement, si $(Id - f)(y)=0$, alors $y=f(y)$ et donc $y\in \Im f$. Par conséquent, $ \Im f =\ker (Id - f) $.
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Applications_linéaires_
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297
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Soit $E$ un espace vectoriel et $f$ un endomorphisme nilpotent de $E$, c.à.d. un endomorphisme non nul de $E$ tel qu'il existe un entier $n\ge 2$, vérifiant $f^n=0$. On notera $Id$ l'identité de $E$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$f$ est injective",
"$f$ est surjective",
"$Id-f$ est injective",
"$Id-f$ est bijective"
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
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\vskip0mm
D'une manière générale, si $f$ est nilpotent, $f$ n'est pas bijectif. En effet, supposons qu'il existe une application $g$ telle que $gof=Id$ et considérons un élément $x\in E$ tel que $f(x)\neq 0$ et $k$ le plus petit entier $\ge 2$ tel que $f^k(x)=0$. Alors, $g(f^k(x))=0=gof(f^{k-1}(x)) = f^{k-1}(x)$, ce qui est absurde.
\vskip0mm
Soit $x\in E$ tel que $(Id-f)(x)=0,$ alors $f(x)=x$ et, par récurrence, $f^n(x)=x$. Or $f^n=0$, donc $x=0$. On en déduit que $Id-f$ est injective.
\vskip0mm
De l'égalité : $(Id-f)(Id+f+f^2+\dots + f^{n-1})=Id-f^n=Id$, on déduit que $Id-f$ est bijective et que $(Id-f)^{-1}=Id+f+f^2+\dots + f^{n-1}$.
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298
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Soit $E$ un espace vectoriel et $f$ un endomorphisme involutif de $E$, c.à.d. un endomorphisme non nul de $E$ tel que $f^2=Id$, où $Id$ est l'identité de $E$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$f$ est bijective",
"$\\Im (Id+f) \\cap \\Im (Id-f) = E$",
"$E=\\Im (Id+f) + \\Im (Id-f)$",
"$\\Im (Id+f)$ et $\\Im (Id-f)$ ne sont pas supplémentaires dans $E$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
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\vskip0mm
Soit $y\in \Im (Id+f) \cap \Im (Id-f)$, alors il existe $x,x'\in E$ tels que $y=x+f(x)=x'-f(x')$. De l'égalité $f^2=Id$, on déduit que $f(y)=f(x)+x=f(x')-x'=y=-y$, donc $y=0$.
\vskip0mm
Soit $x\in E$, alors $\displaystyle x=\frac{1}{2}(x+f(x))+\frac{1}{2}(x-f(x)) \in \Im (Id+f)+\Im (Id-f)$. On en déduit que $E= \Im (Id+f) + \Im (Id-f)$. Par conséquent, $\Im (Id+f)$ et $\Im (Id-f)$ sont supplémentaires dans $E$.
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299
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Soit $E$ un espace vectoriel et $f$ un endomorphisme de $E$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"Si $f^2 =0$, alors $f=0$",
"Si $f^2 =0$, alors $f$ est bijective",
"Si $f^2 =0$, alors $\\Im f \\subset \\ker f$",
"Si $\\Im f \\subset \\ker f$, alors $f^2 =0$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
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\vskip0mm
Supposons que $f^2 =0$ et que $f\neq 0$. Alors, il existe $x_0\in E$ tel que $f(x_0) \neq 0$ et $f(x_0) \in \ker f$, puisque $f^2(x_0) =0$. Donc $f$ est non injective et donc non bijective.
\vskip0mm
Soit $y\in \Im f$, alors il existe $x\in E$ tel que $y=f(x)$. De l'égalité $f^2 =0$, on déduit que $f(y)=0$.
\vskip0mm
Soit $x\in E$, alors $f(x)\in \Im f$. Comme $\Im f \subset \ker f$, $f^2(x)=0$.
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300
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Soit $E$ un $\Rr$-espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$E= \\ker f \\oplus \\Im f$",
"Si $\\ker f= \\ker f^2$, alors $E= \\ker f \\oplus \\Im f$",
"Si $\\Im f= \\Im f^2$, alors $\\ker f= \\ker f^2$",
"Si $E= \\ker f \\oplus \\Im f $, alors $\\ker f= \\ker f^2$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
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\vskip0mm
Soit $y\in \ker f \cap \Im f$. Donc $f(y)=0$ et il existe $x\in E$ tel que $y=f(x)$, donc $f^2(x)=0$. Or $\ker f^2 \subset ker f$, donc $f(x)=0$ et donc $y=0$. En utilisant le théorème du rang, on déduit que $E= \ker f \oplus \Im f $.
\vskip0mm
D'après le théorème du rang, $\dim \ker f+ \dim \Im f = \dim \ker f^2+ \dim \Im f^2=\dim E$. Si $\Im f= \Im f^2$,
on déduit que $\dim \ker f= \dim \ker f^2$. Or $\ker f$ est un sous-espace de $\ker f^2$, donc $\ker f= \ker f^2$.
\vskip0mm
On suppose que $E= \ker f \oplus \Im f $. Soit $x\in \ker f^2$, alors $f^2(x)=f(f(x))=0$. Donc $f(x) \in \Im f \cap \ker f$. Or $\Im f \cap \ker f = \{0\}$, donc $x\in \ker f$ et donc $\ker f^2 \subset \ker f$. On déduit que $\ker f^2 = \ker f$, puisque $\ker f \subset \ker f^2$ pour tout endomorphisme $f$.
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