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954
| question
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1.36k
| targets
dict | explanation
stringlengths 0
1.3k
⌀ | category
stringclasses 28
values |
|---|---|---|---|---|
401
|
On considère les équations différentielles :
$$(E_1)\; :\; y''-3y'+2y=\mathrm{e}^{2x}\quad \mbox{et}\quad (E_2)\; :\; y''-3y'+2y=2x\mathrm{e}^{x}.$$
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$(E_1)$ admet une solution sous la forme $\\displaystyle y_0=a\\mathrm{e}^{2x}$ où $a\\in \\Rr$.",
"$(E_2)$ admet une solution sous la forme $\\displaystyle y_0=(ax+b)\\mathrm{e}^{x}$ où $a,b\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E_1)$ est $\\displaystyle y=a\\mathrm{e}^{x}+(b+x)\\mathrm{e}^{2x}$, $a,b\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E_2)$ est $\\displaystyle y=\\left(a-2x-x^2\\right)\\mathrm{e}^{x}+b\\mathrm{e}^{2x}$, $a,b\\in \\Rr$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
Les racines de l'équation caractéristique sont $1$ et $2$. Donc $(E_1)$ admet une solution particulière sous la forme $\displaystyle y_0=ax\mathrm{e}^{2x}$, car $2$ est une racine simple de l'équation caractéristique, et $(E_2)$ admet une solution particulière sous la forme $\displaystyle y_0=x(a+bx)\mathrm{e}^{x}$ car $1$ est une racine simple de l'équation caractéristique.
|
Equations_différentielles
|
402
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y''+y=2\cos x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Toute solution de $(E)$ est combinaison linéaire de $\\sin x$ et $\\cos x$.",
"Toute solution de $(E)$ est combinaison linéaire de $\\sin x$, $\\cos x$, $x\\sin x$ et $x\\cos x$.",
"$(E)$ admet une solution sous la forme $y=x(a\\sin x+b\\cos x)$, où $a,b,\\in \\Rr$.",
"La solution de $(E)$ telle que $y(0)=0$ et $y'(0)=0$ est $\\displaystyle y=x\\cos x$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
La solution générale de l'équation homogène est : $Y=k_1\cos x+k_2\sin x$, $k_1,k_2\in \Rr$. On vérifie que, $\displaystyle y_0=x\sin x $ est une solution particulière de $(E)$. Donc la solution générale de $(E)$ est : $\displaystyle y=k_1\cos x+(k_2+x)\sin x$, pour $k_1,k_2\in \Rr$. Enfin, $y(0)=0\Rightarrow k_1=0$ et $y'(0)=0\Rightarrow k_2=0$.
|
Equations_différentielles
|
403
|
On considère les équations différentielles :
$$(E_1)\; :\; y''-4y'+5y=\mathrm{e}^{2x}\quad \mbox{et}\quad (E_2)\; :\; y''-4y'+5y=8\sin x.$$
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$(E_1)$ admet une solution sous la forme $\\displaystyle y_0=ax\\mathrm{e}^{2x}$ avec $a\\in \\Rr$.",
"$(E_2)$ admet une solution sous la forme $\\displaystyle y_0=a\\sin x$ avec $a\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E_1)$ est $\\displaystyle y=\\mathrm{e}^{2x}\\left[1+a\\cos x+b\\sin x\\right]$, $a,b\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E_2)$ est $\\displaystyle y=\\left(1+a\\mathrm{e}^{2x}\\right)\\cos x+\\left(1+b\\mathrm{e}^{2x}\\right)\\sin x$, $a,b\\in \\Rr$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
Les solutions de l'équation caractéristique sont $2\pm \mathrm{i}$. Donc $(E_1)$ admet une solution particulière sous la forme $\displaystyle y_0=a\mathrm{e}^{2x}$ et $(E_2)$ admet une solution particulière sous la forme $\displaystyle y_0=a\cos x+b\sin x$. Les calculs montrent que la solution générale de $(E_1)$ est $\displaystyle y=\mathrm{e}^{2x}\left[1+a\cos x+b\sin x\right]$, $a,b\in \Rr$, et la solution générale de $(E_2)$ est :
$$y=\left(1+a\mathrm{e}^{2x}\right)\cos x+\left(1+b\mathrm{e}^{2x}\right)\sin x,\; a,b\in \Rr.$$
|
Equations_différentielles
|
404
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y''-2y'+2y=2\mathrm{e}^{x}\cos x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Les solutions de l'équation caractéristique sont $1\\pm \\mathrm{i}$.",
"$(E)$ admet une solution sous la forme $\\displaystyle y_0=a\\mathrm{e}^{x}\\cos x$ avec $a\\in \\Rr$.",
"La fonction $\\displaystyle y_0=x\\mathrm{e}^{x}\\sin x$ est une solution de $(E)$.",
"La solution générale de $(E)$ est : $\\displaystyle y=\\mathrm{e}^{x}\\left(a\\cos x+b\\sin x\\right)+2\\mathrm{e}^{x}\\cos x$, $a,b\\in \\Rr$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
La solution générale de l'équation homogène est $Y=\mathrm{e}^{x}\left(a\cos x+b\sin x\right)$, $a$ et $b\in\Rr$, et $\displaystyle y_0=x\mathrm{e}^{x}\sin x$ est une solution particulière de $(E)$. Donc la solution générale de $(E)$ est : $\displaystyle y=Y+y_0=\mathrm{e}^{x}\left(a\cos x+b\sin x\right)+x\mathrm{e}^{x}\sin x$, $a,b\in \Rr$.
|
Equations_différentielles
|
405
|
On considère les équations différentielles
$$(E_1)\; :\; xy''+2(x+1)y'+(x+2)y=2\mathrm{e}^{-x}\quad\mbox{et}\quad (E_2)\; :\; y''+2y'+y=2\mathrm{e}^{-x}.$$
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $y$ est une solution de $(E_1)$, alors $\\displaystyle z=xy$ est une solution de $(E_2)$.",
"$(E_2)$ admet une solution particulière sous la forme $\\displaystyle y_0=a\\mathrm{e}^{-x}$, $a\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E_1)$ sur $]0,+\\infty[$ est $\\displaystyle y=\\left(x+a+\\frac{b}{x}\\right)\\mathrm{e}^{-x}$, $a,b\\in \\Rr$.",
"Toute solution de $(E_1)$ sur $]0,+\\infty[$ se prolonge par continuité en $0$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
On a : $z'=xy'+y$, $z''=xy''+2y'$ et $z''+2z'+z=xy''+2(x+1)y'+(x+2)y$. La solution générale de l'équation homogène associée à $(E_2)$ est : $Z=(ax+b)\mathrm{e}^{-x}$ et $z_0=x^2\mathrm{e}^{-x}$ est une solution particulière de $(E_2)$. Donc la solution générale de $(E_2)$ est $z=Z+z_0$. Ainsi, la solution générale de $(E_1)$ sur $]0,+\infty[$ est : $\displaystyle y=\left(x+a+\frac{b}{x}\right)\mathrm{e}^{-x}$, $a,b\in \Rr$. Une telle solution se prolonge par continuité en $0$ si et seulement si $b=0$.
|
Equations_différentielles
|
406
|
On considère les équations différentielles
$$(E_1)\; :\; xy''+2y'-xy=2\mathrm{e}^{x}\quad\mbox{et}\quad (E_2)\; :\; z''-z=2\mathrm{e}^{x}.$$
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $y$ est une solution de $(E_1)$, alors $\\displaystyle z=xy$ est une solution de $(E_2)$.",
"$(E_1)$ admet une solution particulière sous la forme $\\displaystyle y_0=a\\mathrm{e}^{x}$, $a\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E_1)$ sur $]0,+\\infty[$ est $\\displaystyle y=\\left(\\frac{a}{x}+1\\right)\\mathrm{e}^{x}+\\frac{b}{x}\\mathrm{e}^{-x}$, $a,b\\in \\Rr$.",
"$(E_1)$ n'admet pas de solution sur $\\Rr$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
On a : $z'=xy'+y$, $z''=xy''+2y'$ et $z''-z=xy''+2y'-xy$. La solution générale de l'équation homogène associée à $(E_2)$ est : $Z=a\mathrm{e}^{x}+b\mathrm{e}^{-x}$ et $z_0=x\mathrm{e}^{x}$ est une solution particulière de $(E_2)$. Donc la solution générale de $(E_2)$ est $z=Z+z_0$. Ainsi, la solution générale de $(E_1)$ sur $]0,+\infty[$ est : $\displaystyle y=\left(\frac{a}{x}+1\right)\mathrm{e}^{x}+\frac{b}{x}\mathrm{e}^{-x}$, $a,b\in \Rr$. Une telle solution se prolonge par continuité en $0$ si et seulement si $a=b=0$. D'où $\displaystyle y=\mathrm{e}^{x}$. Réciproquement, on vérifie qu'une telle fonction est bien une solution de $(E_1)$ sur $\Rr$.
|
Equations_différentielles
|
407
|
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $0$ telle que $f(0)=0$ et $DL_4(0)f(x)=x+x^2+o(x^4)$. On peut en déduire que :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ est continue en $0$, dérivable en $0$ et $f'(0)=1$.",
"Si $f$ est $2$ fois dérivable en $0$ alors $f^{(2)}(0)=1$.",
"$\\displaystyle DL_4(0)f(2x)=2x+2x^2+o(x^4)$.",
"$\\displaystyle DL_4(0)f(x^2)=x^2+x^4+o(x^4)$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
On a : $\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=0=f(0)$. Donc $f$ est continue en $0$. L'existence du $DL$ à l'ordre $1$ en $0$ implique que $f$ est dérivable en $0$ et si $f$ est $2$ fois dérivable en $0$ alors $f^{(2)}(0)=2$. Enfin, $DL_2(0)f(2x)=2x+4x^2+o(x^4)$ et
$$DL_8(0)f(x^2)=x^2+x^4+o(x^8)\Rightarrow DL_4(0)f(x^2)=x^2+x^4+o(x^4).$$
|
Développements_limités
|
408
|
Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que :
$$DL_3(0)f(x)=x+x^3+o(x^3)\; \mbox{ et }\; DL_3(0)g(x)=-x+x^3+o(x^3).$$
On peut en déduire que :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$DL_2(0)\\left[f(x)+g(x)\\right]=o(x^2)$.",
"$DL_2(0)\\left[f(x)-g(x)\\right]=o(x^2)$.",
"$DL_2(0)\\left[2f(x)+g(x)\\right]=x+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_6(0)f(x)\\times g(x)=-x^2+x^6+o(x^6)$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Découle des opérations sur les DL en remarquant que la somme ou le produit de deux DL du même ordre donne un DL du même ordre.
|
Développements_limités
|
409
|
Parmi les assertions suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_3(0)\\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)\\frac{1}{1-x}=1-x+x^2-x^3+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)\\frac{x}{1-x}=x-x^2+x^3+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)\\frac{1+x}{1-x}=1+2x+2x^2+2x^3+o(x^3)$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
On a le DL usuel suivant : $\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$. On en déduit que
$$\frac{x}{1-x}=x(1+x+x^2+x^3+o(x^3))=x+x^2+x^3+o(x^3)$$
et
$$\frac{1+x}{1-x}=(1+x)(1+x+x^2+x^3+o(x^3))=1+2x+2x^2+2x^3+o(x^3).$$
|
Développements_limités
|
410
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_3(0)\\sin x=x-\\frac{x^3}{6}+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)\\mathrm{e}^{x}=x+\\frac{x^2}{2}+\\frac{x^3}{6}+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)\\left(\\sin x+\\mathrm{e}^{x}\\right)=2x+\\frac{x^2}{2}+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)\\left(\\sin x\\mathrm{e}^{x}\\right)=x+x^2+\\frac{x^3}{3}+o(x^3)$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
On a : $\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$ et $\displaystyle \mathrm{e}^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$. Donc
$$DL_3(0)\left(\mathrm{e}^{x}+\sin x\right)=1+2x+\frac{x^2}{2}+o(x^3)\quad\mbox{et}\quad DL_3(0)\left(\sin x\mathrm{e}^{x}\right)=x+x^2+\frac{x^3}{3}+o(x^3).$$
|
Développements_limités
|
411
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_3(0)\\cos x=1-\\frac{x^2}{2}+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)\\mathrm{e}^x=1+x+\\frac{x^2}{2}+\\frac{x^3}{3}+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)\\left(\\cos x+\\mathrm{e}^x\\right)=2+x+\\frac{x^3}{3}+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)\\left(\\cos x\\mathrm{e}^{x}\\right)=1+x-\\frac{x^3}{3}+o(x^3)$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
On a : $\displaystyle DL_3(0)\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)$ et $\displaystyle DL_3(0)\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$. Donc $\displaystyle DL_3(0)\left(\cos x+\mathrm{e}^x\right)=2+x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$ et $\displaystyle DL_3(0)\cos x\mathrm{e}^x=1+x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$.
|
Développements_limités
|
412
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_3(0)\\sin (2x)=2x-\\frac{x^3}{3}+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)\\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}-x\\right)=1-\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)\\cos (\\sin x)=1-\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)\\cos (x-x^2)=1-\\frac{x^2}{2}+o(x^3)$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Le $DL_3(0)\sin(t)$, avec $t=2x$, donne : $\displaystyle DL_3(0)\sin (2x)=2x-\frac{4x^3}{3}+o(x^3)$. Ensuite $\displaystyle \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos (x)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$. Enfin, en posant $t=\sin x$ et puis $t=x-x^2$ dans le $DL_3(0)\cos (t)$, on obtient :
$$\displaystyle DL_2(0)\cos (\sin x)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\; \mbox{ et }\; DL_3(0)\cos (x-x^2)=1-\frac{x^2}{2}+x^3+o(x^3).$$
|
Développements_limités
|
413
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_1(0)\\sqrt{2+x}=1+\\frac{1+x}{2}+o(1+x)$.",
"$\\displaystyle DL_1(0)\\sqrt{4+x}=2+\\frac{x}{2}+o(x)$.",
"$\\displaystyle DL_1(0)\\sqrt{1+2x}=1+x+o(x)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)\\sqrt[3]{1-3x}=1-x-x^2+o(x^2)$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
D'abord, $\displaystyle \sqrt{2+x}=\sqrt{2}\times \sqrt{1+\frac{x}{2}}$ et $\displaystyle \sqrt{4+x}=\sqrt{4}\times \sqrt{1+\frac{x}{4}}$. Ensuite, on applique le développement $\displaystyle DL_1(0)\sqrt{1+t}=1+\frac{t}{2}+o(t)$ avec $\displaystyle t=\frac{x}{2}$, $\displaystyle t=\frac{x}{4}$ et $t=2x$. Enfin, on applique le développement $\displaystyle DL_2(0)(1+t)^{\alpha}$ avec $\displaystyle \alpha =\frac{1}{3}$ et $t=-3x$.
|
Développements_limités
|
414
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_1(0)(8+3x)^{2/3}=4+2x+o(x)$.",
"$\\displaystyle DL_1(0)1/\\sqrt{1-2x}=1+x+o(x)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)\\sqrt[3]{1+3x^3}=1+x^3+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle DL_1(0)\\sqrt[3]{3+x}=1+\\frac{x}{3}+o(x)$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
On a :
$$(8+3x)^{2/3}=8^{2/3}\left(1+\frac{3x}{8}\right)^{2/3}=4\left(1+\frac{2}{3}.\frac{3x}{8}+o(x)\right)=4+x+o(x)$$
et
$$\sqrt[3]{3+x}=\sqrt[3]{3}.\sqrt[3]{1+\frac{x}{3}}=\sqrt[3]{3}\left(1+\frac{1}{3}.\frac{x}{3}+o(x)\right)=\sqrt[3]{3}+\frac{\sqrt[3]{3}}{9}x+o(x).$$
Enfin, applique le $\displaystyle DL_1(0)(1+t)^{\alpha}$ avec $\displaystyle \alpha =-\frac{1}{2}$ et $t=-2x$, ensuite avec $\displaystyle \alpha =\frac{1}{3}$ et $t=3x^3$.
|
Développements_limités
|
415
|
Les égalités suivantes portent sur des développements limités en $0$. Cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\ln(1+2x)=2\\left(x-\\frac{x^2}{2}+o(x^2)\\right)$.",
"$\\displaystyle \\ln(1-2x)=-2x-2x^2+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle \\ln(1+x^2)=x^2-\\frac{x^4}{2}+o(x^4)$.",
"$\\displaystyle \\ln(1-x^2)=-\\left[x^2-\\frac{x^4}{2}+o(x^4)\\right]$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
On applique le développement : $\displaystyle DL_2(0)\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)$ avec $t=2x$, $t=-2x$, $t=x^2$ et enfin avec $t=-x^2$.
|
Développements_limités
|
416
|
Les égalités suivantes portent sur des développements limités en $0$. Cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\ln\\left(1+\\mathrm{e}^x\\right)=1+x+o(x)$.",
"$\\displaystyle \\ln\\left(\\cos x\\right)=-x^2/2+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle \\ln\\left(1+\\sin x\\right)=x+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle \\ln(1-x^2)-\\ln \\left((1+x)^2\\right)=o(x)$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
On a :
$$\begin{array}{l}\displaystyle \ln\left(1+\mathrm{e}^x\right)=\ln \left(2+x+o(x)\right)=\ln 2+\frac{x}{2}+o(x)\\ \\ \displaystyle \ln\left(\cos x\right)=\ln \left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)=-\frac{x^2}{2}+o(x^2),\\ \\ \displaystyle \ln\left(1+\sin x\right)=\ln \left(1+x+o(x^2)\right)=x-x^2/2+o(x^2)\end{array}$$ et enfin
$$\displaystyle \ln(1-x^2)-\ln \left((1+x)^2\right)=\ln(1-x^2)-\ln \left(1+2x+x^2\right)=-2x+o(x).$$
|
Développements_limités
|
417
|
On rappelle que $\displaystyle \tan x=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_3(0)\\frac{1}{\\cos (x)}=1+\\frac{x^2}{2}+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)\\frac{1}{\\cos (x)}=1-\\frac{x^2}{2}+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)\\tan (x)=x+\\frac{x^3}{3}+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)\\tan (x)=x-\\frac{2x^3}{3}+o(x^3)$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
On utilise $\displaystyle DL_3(0)\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+o(t^2)$ avec $\displaystyle t=\cos (x)-1=\frac{x^2}{2}+o(x^3)$. On obtient :
$\displaystyle DL_3(0)\frac{1}{\cos (x)}=1+\frac{x^2}{2}+o(x^3)$. Ensuite, on effectue le produit $\displaystyle \sin (x)\times \frac{1}{\cos (x)}$ :
$$\displaystyle DL_3(0)\tan (x)=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3).$$
|
Développements_limités
|
418
|
Soit $\displaystyle f(x)=\arcsin (x)$ et $\displaystyle g(x)=\arctan (x)$. Alors
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0)f'(x)=1+\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)g'(x)=1+x^2+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)f(x)=x+\\frac{x^3}{6}+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)g(x)=x+\\frac{x^3}{3}+o(x^3)$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
On a : $\displaystyle f'(x)=(1-x^2)^{-1/2}=1+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ et $\displaystyle g'(x)=\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+o(x^2)$. Par intégration, et puisque $\arcsin (0)=0$ et $\arctan (0)=0$, on obtient :
$$DL_3(0)f(x)=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\quad \mbox{ et }\quad DL_3(0)g(x)=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3).$$
|
Développements_limités
|
419
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Pour obtenir le $DL_2(0)\\sqrt{2+t}$, on écrit :",
"Pour obtenir le $DL_2(2)\\sqrt{x}$, on écrit :",
"$\\displaystyle DL_2(0)\\frac{\\ln (1+t)}{1+t}=t-\\frac{3t^2}{2}+o(t^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(1)\\frac{\\ln x}{x}=(x-1)-\\frac{3(x-1)^2}{2}+o((x-2)^2)$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
| null |
Développements_limités
|
420
|
Les égalités suivantes portent sur des développements limités au voisinage de $+\infty$. Cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_3(+\\infty)\\sin \\frac{1}{x}=\\frac{1}{x}-\\frac{1}{6x^3}+o\\left(\\frac{1}{x^3}\\right)$.",
"$\\displaystyle DL_2(+\\infty)\\frac{1}{1+x^2}=1-\\frac{1}{x^2}+o\\left(\\frac{1}{x^2}\\right)$.",
"$\\displaystyle DL_2(+\\infty)\\ln \\frac{x+1}{x}=\\frac{1}{x}-\\frac{1}{2x^2}+o\\left(\\frac{1}{x^2}\\right)$.",
"$\\displaystyle DL_2(+\\infty)\\frac{1}{1+x}=1-\\frac{1}{x}+\\frac{1}{x^2}+o\\left(\\frac{1}{x^2}\\right)$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
| null |
Développements_limités
|
421
|
Les égalités suivantes portent sur des développements limités au voisinage de $+\infty$. Cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\sin \\left(\\frac{1}{1+x}\\right)=\\frac{1}{x}-\\frac{1}{x^2}+o\\left(\\frac{1}{x^2}\\right)$.",
"$\\displaystyle \\cos \\left(\\frac{1}{1+x}\\right)=1-\\frac{1}{2x^2}+o\\left(\\frac{1}{x^3}\\right)$.",
"$\\displaystyle \\frac{x}{x^2-1}=\\frac{1}{x}+\\frac{1}{x^3}+o\\left(\\frac{1}{x^3}\\right)$.",
"$\\displaystyle \\ln \\left(1+\\frac{x}{x^2-1}\\right)=\\frac{1}{x}+o\\left(\\frac{1}{x^2}\\right)$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
| null |
Développements_limités
|
422
|
Soit $\displaystyle f(x)=\frac{\ln (1+x+x^2)}{\sqrt{1+2x}-1}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0)\\ln (1+x+x^2)=x+\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)\\left(\\sqrt{1+2x}-1\\right)=x-\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)f(x)=1+x+\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)[xf(x)]=x+x^2+\\frac{x^3}{2}+o(x^3)$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
Pour écrire le $DL_2(0)f(x)$, il faut écrire les développements limités du numérateur et du dénominateur à l'ordre $3$ en $0$. Ensuite effectuer la division suivant les puissances croissantes à l'ordre $2$. On aura :
$$DL_2(0)f(x)=1+x-\frac{2x^2}{3}+o(x^2).$$
En multipliant par $x$, on obtient : $\displaystyle DL_3(0)xf(x)=x+x^2-\frac{2x^3}{3}+o(x^3)$.
|
Développements_limités
|
423
|
Soit $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+\sin x}$ et $\displaystyle g(x)=\frac{1}{1+\cos x}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0)f(x)=1-x+x^2+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)g(x)=1-\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)\\left[f(x)+g(x)\\right]=2-x+\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)\\frac{f(x)}{g(x)}=2-2x+\\frac{3x^2}{2}+o(x^2)$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
| null |
Développements_limités
|
424
|
Soit $\displaystyle f(x)=\ln \left[1+\sin x\right]$ et $\displaystyle g(x)=\ln \left[1+\cos x\right]$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0)f(x)=x-\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)g(x)=1-\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)\\left[f(x)+g(x)\\right]=1+x-x^2+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)f(x)g(x)=\\ln (2)x-\\frac{\\ln (2)}{2}x^2+o(x^2)$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
| null |
Développements_limités
|
425
|
Soit $\displaystyle f(x)=\arctan x$. Pour $t\neq 0$, on pose $\displaystyle g(t)=f\left(\frac{1}{t}\right)$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Pour $t>0$, on a : $\\displaystyle g(t)=\\frac{\\pi}{2}+\\arctan (t)$.",
"Pour tout $x>0$, $\\displaystyle g'(t)=\\frac{-1}{1+t^2}$.",
"$\\displaystyle DL_3(0^+)g(t)=-t+\\frac{t^3}{3}+o(t^3)$.",
"$\\displaystyle DL_3(+\\infty)f(x)=\\frac{\\pi}{2}-\\frac{1}{x}+\\frac{1}{3x^3}+o\\left(\\frac{1}{x^3}\\right)$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
| null |
Développements_limités
|
426
|
Soit $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{\sin x}$ et $g(x)=\mathrm{e}^{\cos x}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_3(0)f(x)=1+x+\\frac{x^2}{2}+o(x^3)$.",
"Pour tout $x\\in \\Rr$, $\\displaystyle f'(x)=g(x)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)g(x)=\\left(1+x+\\frac{x^2}{2}+o(x^3)\\right)'=1+x+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)g(x)=\\mathrm{e}-\\frac{\\mathrm{e}x^2}{2}+o(x^2)$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Avec $\displaystyle u=\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$ et $\displaystyle \mathrm{e}^u=1+u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6}+o(u^3)$, on obtient
$$\displaystyle DL_3(0)f(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^3).$$
Or $\displaystyle g(x)=\mathrm{e}.\mathrm{e}^{\cos x-1}$. Donc, avec $\displaystyle u=\cos x-1=-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ et $\mathrm{e}^u=1+u+\frac{u^2}{2}+o(u^3)$, on obtient : $\displaystyle DL_2(0)g(x)=\mathrm{e}-\frac{\mathrm{e}.x^2}{2}+o(x^2)$.
|
Développements_limités
|
427
|
Soit $\displaystyle f(x)=\ln\left(\frac{x}{\mathrm{e}^x-1}\right)$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0)(\\mathrm{e}^x-1)=x+\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ et $\\displaystyle DL_2(0)\\frac{x}{\\mathrm{e}^x-1}=1-\\frac{x}{2}+\\frac{x^2}{4}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)\\ln (1+u)=u-\\frac{u^2}{2}+o(u^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)f(x)=-\\frac{x}{2}+\\frac{x^2}{8}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_1(0)f(x)=-\\frac{x}{2}+o(x)$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
On a : $\displaystyle DL_2(0)(\mathrm{e}^x-1)=x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ et donc
$$\frac{x}{\mathrm{e}^x-1}=\frac{x}{x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)}=\frac{1}{1+\frac{x}{2}+o(x)}=1-\frac{x}{2}+o(x).$$
Pour écrire le $\displaystyle DL_2(0)\frac{x}{\mathrm{e}^x-1}$, il faut considérer le $DL_3(0)(\mathrm{e}^x-1)$. Maintenant, avec $\displaystyle u=\frac{x}{\mathrm{e}^x-1}-1=-\frac{x}{2}+o(x)$, on obtient
$$\ln\left(\frac{x}{\mathrm{e}^x-1}\right)=\ln (1+u)=u+o(u)=-\frac{x}{2}+o(x).$$
|
Développements_limités
|
428
|
Soit $\displaystyle f(x)=(1+x)^{1/x}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0)\\frac{\\ln (1+x)}{x}=1-\\frac{x}{2}+\\frac{x^2}{3}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)\\mathrm{e}^{1+u}=1+u+\\frac{u^2}{2}+o(u^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)f(x)=\\frac{5}{2}-2x+\\frac{3x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)f(x)=\\mathrm{e}-\\frac{\\mathrm{e}}{2}x+\\frac{11\\mathrm{e}}{24}x^2+o(x^2)$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Le $\displaystyle DL_3(0)\ln (1+x)$ donne : $\displaystyle DL_2(0)\frac{\ln (1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)$.
\vskip0mm
Ensuite, $\mathrm{e}^{1+u}=\mathrm{e}.\mathrm{e}^u=\mathrm{e}.\left(1+u+\frac{u^2}{2}+o(u^2)\right)$. Ainsi, avec $\displaystyle u=-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)$, on obtient :
$$f(x)=\mathrm{e}^{1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)}=\mathrm{e}-\frac{\mathrm{e}}{2}x+\frac{11\mathrm{e}}{24}x^2+o(x^2).$$
|
Développements_limités
|
429
|
Parmi les assertions suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0)\\frac{\\ln (1+x)}{x-x^2}=1+\\frac{x}{2}+\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)\\frac{\\mathrm{e}^x-1}{\\ln (1+x)}=1+x+\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_4(0)\\ln (1+x\\sin x)=x^2-\\frac{2x^4}{3}+o(x^4)$.",
"$\\displaystyle DL_4(0)\\arcsin \\left(\\ln (1+x^2)\\right)=x^2-\\frac{x^4}{2}+o(x^4)$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
Le division suivant les puissances croissances du $\displaystyle DL_3(0)\ln (1+x)$ par $x-x^2$ donne
$$DL_2(0)\frac{\ln (1+x)}{x-x^2}=1+\frac{x}{2}+\frac{5x^2}{6}+o(x^2).$$
Le division suivant les puissances croissances du $\displaystyle DL_3(0)(\mathrm{e}^x-1)$ par le $\displaystyle DL_3(0)\ln (1+x)$ donne
$$DL_2(0)\frac{\mathrm{e}^x-1}{\ln (1+x)}=1+x+\frac{x^2}{3}+o(x^2).$$
Ensuite, avec $\displaystyle u=x\sin x =x^2-\frac{x^4}{6}+o(x^4)$ et $\ln (1+u)=u-u^2/2+o(u^2)$, on obtient :
$$DL_4(0)\ln (1+x\sin x)=x^2-\frac{2x^4}{3}+o(x^4).$$
Enfin, avec $\displaystyle u=\ln (1+x^2)=x^2-\frac{x^4}{2}+o(x^4)$ et $\arcsin u=u+\frac{u^3}{6}+o(u^4)$, on obtient :
$$DL_4(0)\arcsin \left(\ln (1+x^2)\right)=x^2-\frac{x^4}{2}+o(x^4).$$
|
Développements_limités
|
430
|
Soit $\displaystyle f(x)=\arctan (1+x)$ et $\displaystyle g(x)=\arctan (\cos x)$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0)f'(x)=\\frac{1}{2}-\\frac{x}{2}+\\frac{x^2}{4}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)f(x)=\\frac{x}{2}-\\frac{x^2}{4}+\\frac{x^3}{12}+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)\\cos x=1-\\frac{x^2}{2}+o(x^3)$ et $\\displaystyle DL_3(0)\\arctan u=u-\\frac{u^3}{3}+o(u^3)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)g(x)=\\left(1-\\frac{x^2}{2}+o(x^3)\\right)-\\frac{1}{3}\\left(1-\\frac{x^2}{2}+o(x^3)\\right)^3+o(x^3)$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
On a : $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+(1+x)^2}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{1+x+\frac{x^2}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+o(x^2)$. Ce qui par intégration, puisque $f(0)=\pi/4$, donne
$$DL_3(0)f(x)=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12}+o(x^3).$$
Ensuite, avec $\displaystyle u=\cos x-1=-\frac{x^2}{2}+o(x^3)$, on aura :
$$g(x)=\arctan (1+u)=\frac{\pi}{4}+\frac{u}{2}-\frac{u^2}{4}+o(u^2)=\frac{\pi}{4}-\frac{x^2}{4}+o(x^3).$$
|
Développements_limités
|
431
|
Soit $\displaystyle f(x)=\int _0^x\frac{\ln (1+t)}{\sqrt{1+t}}\mathrm{d}t$ et $\displaystyle g(x)=\frac{\ln (1+x)}{\sqrt{1+x}}$. Alors
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0)g(x)=x-x^2+o(x^2)$.",
"$f'(x)$ ne possède pas de $DL(0)$.",
"$f(x)$ ne possède pas de $DL(0)$.",
"$\\displaystyle DL_3(0)f(x)=\\frac{x^2}{2}-\\frac{x^3}{3}+o(x^3)$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
On a : $\displaystyle f'(x)=g(x)$ et $DL_2(0)g(x)=x-x^2+o(x^2)$. Par intégration, et puisque $f(0)=0$, on obtient :
$$DL_3(0)f(x)=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+o(x^3).$$
|
Développements_limités
|
432
|
Soit $\displaystyle f(x)=(1+x)^{1/(\mathrm{e}^x-1)}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0)\\ln (1+x)=x-\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ et $\\displaystyle DL_2(0)(\\mathrm{e}^x-1)=x+\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)\\frac{\\ln (1+x)}{\\mathrm{e}^x-1}=1-x+\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)f(x)=\\mathrm{e}.\\mathrm{e}^{-x+x^2/2+o(x^2)}=\\mathrm{e}-\\mathrm{e}.x+\\mathrm{e}.x^2+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)f(x)=\\mathrm{e}-\\mathrm{e}.x+\\frac{7\\mathrm{e}}{6}x^2+o(x^2)$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
| null |
Développements_limités
|
433
|
Soit $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-1}$. On considère la fonction $g$ définie par $\displaystyle g(t)=f\left(\frac{1}{t}\right)$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Pour $0<t<1$, $\\displaystyle g(t)=\\frac{\\sqrt{1+t}-\\sqrt{1-t^2}}{t}$ et $\\displaystyle DL_2(0^+)g(t)=\\frac{1}{2}+\\frac{3t}{8}+o(t^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(+\\infty)f(x)=\\frac{1}{2}+\\frac{3}{8x}+o\\left(\\frac{1}{x^2}\\right)$.",
"$\\displaystyle DL_2(+\\infty)f(x)=\\frac{1}{2}+\\frac{3}{8x}+\\frac{1}{16x^2}+o\\left(\\frac{1}{x^2}\\right)$.",
"$\\displaystyle DL_2(-\\infty)f(x)=\\frac{1}{2}-\\frac{3}{8x}+\\frac{1}{16x^2}+o\\left(\\frac{1}{x^2}\\right)$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
| null |
Développements_limités
|
434
|
Soit $\displaystyle f(x)=\arctan\left(\frac{x}{x+1}\right)$. On considère la fonction $g$ définie par $\displaystyle g(t)=f\left(\frac{1}{t}\right)$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Pour $0<t$, $\\displaystyle g(t)=\\frac{\\pi}{2}-\\arctan (1+t)$ et $\\displaystyle DL_1(0)g'(t)=-\\frac{1}{2}+\\frac{t}{2}+o(t)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0^+)g(t)=-\\frac{t}{2}+\\frac{t^2}{4}+o(t^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(+\\infty)f(x)=-\\frac{1}{2x}+\\frac{1}{4x^2}+o\\left(\\frac{1}{x^2}\\right)$.",
"$\\displaystyle DL_2(+\\infty)f(x)=\\frac{\\pi}{4}-\\frac{1}{2x}+\\frac{1}{4x^2}+o\\left(\\frac{1}{x^2}\\right)$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Pour $0<t$, on a : $\displaystyle g(t)=\arctan\left(\frac{1}{1+t}\right)=\frac{\pi}{2}-\arctan (1+t)$ et
$$g'(t)=\frac{-1}{1+(1+t)^2}=\frac{-1}{2}\times \frac{1}{1+(t+t^2/2)}=-\frac{1}{2}+\frac{t}{2}+o(t).$$
Par intégration, et puisque $\displaystyle \arctan 1=\frac{\pi}{4}$, on obtient :
$$DL_2(0^+)g(t)=\frac{\pi}{4}-\frac{t}{2}+\frac{t^2}{4}+o(t^2)\Rightarrow DL_2(+\infty)f(x)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right).$$
|
Développements_limités
|
435
|
Soient $f$ et $g$ telles que $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x-1}\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$ et $\displaystyle g(t)=f\left(\frac{1}{t}\right)$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle g(t)=\\frac{\\ln (1+t)}{t-t^2}$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)g(t)=1+\\frac{t}{2}+\\frac{t^2}{2}+o(t^2)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)(+\\infty)f(x)=1+\\frac{1}{x}+\\frac{1}{2x^2}+o\\left(\\frac{1}{x^2}\\right)$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)(+\\infty)f(x)=1+\\frac{1}{x}+\\frac{5}{6x^2}+o\\left(\\frac{1}{x^2}\\right)$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
D'abord $\displaystyle g(t)=\frac{\ln (1+t)}{t-t^2}=1+\frac{t}{2}+\frac{5t^2}{6}+o(t^2)$. Donc
$$DL_2(+\infty)f(x)=1+\frac{1}{x}+\frac{5}{6x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right).$$
|
Développements_limités
|
436
|
Parmi les égalités suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle\\lim _{x\\to 0}\\frac{\\mathrm{e}^{x}-1}{\\sqrt{1+x}-1}=2$.",
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 0}\\frac{\\mathrm{e}^{x}-\\sqrt{1+2x}}{\\ln(1+x)}=1$.",
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 0}\\frac{1-\\cos x}{\\sin ^2x}=\\frac{1}{2}$.",
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 0}\\frac{\\mathrm{e}^x-\\cos x-x}{x^2}=2$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
On a : $\displaystyle DL_1(0)\mathrm{e}^{x}-1=x+o(x)$ et $\displaystyle DL_1(0)(\sqrt{1+x}-1)=\frac{x}{2}+o(x)$. Donc
$$\displaystyle DL_0(0)\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{\sqrt{1+x}-1}=2+o(1)\Rightarrow \displaystyle\lim _{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{\sqrt{1+x}-1}=2.$$
De même, $\displaystyle DL_1(0)(\mathrm{e}^{x}-\sqrt{1+2x})=o(x)$ et $\displaystyle DL_1(0)\ln(1+x)=x+o(x)$. Donc
$$\displaystyle DL_0(0)\frac{\mathrm{e}^{x}-\sqrt{1+2x}}{\ln(1+x)}=o(1)\Rightarrow \lim _{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^{x}-\sqrt{1+2x}}{\ln(1+x)}=0.$$ Ensuite, $\displaystyle 1-\cos x=\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ et $\displaystyle \sin ^2x=x^2+o(x^2)$. D'où $\displaystyle \frac{1-\cos x}{\sin ^2x}=\frac{1}{2}+o(1)$. On en déduit la limite en $0$. Enfin,
$$\mathrm{e}^x-\cos x-x=x^2+o(x^2)\Rightarrow \frac{\mathrm{e}^x-\cos x-x}{x^2}=1+o(1)\Rightarrow \lim _{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^x-\cos x-x}{x^2}=1.$$
|
Développements_limités
|
437
|
Soit $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x^2-1}$ et $\displaystyle g(x)=\frac{\ln (1+x)}{2x+x^2}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_1(0)g(x)=\\frac{1}{2}-\\frac{x}{2}+o(x)$.",
"$f(1+x)=g(x)$ et $\\displaystyle DL_1(1)f(x)=\\frac{1}{2}-\\frac{x}{2}+o(x)$.",
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 1}f(x)$ n'existe pas.",
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 1}f(x)=\\frac{1}{2}$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Les développements à l'ordre $2$ en $0$ de $\ln (1+x)$ donne :
$$\displaystyle DL_1(0)g(x)=\frac{1}{2}-\frac{x}{2}+o(x) \Rightarrow DL_1(1)f(x)=\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2}+o(x-1)$$
car $f(x)=g(x-1)$. Enfin, $\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 0}g(x)=\frac{1}{2}$.
|
Développements_limités
|
438
|
Parmi les égalités suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 0}\\left(1+x\\right)^{1/x}=1$.",
"$\\displaystyle\\lim _{x\\to 0}\\left(\\cos x\\right)^{1/\\sin ^2x}=\\frac{1}{\\sqrt{\\mathrm{e}}}$.",
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 0}\\left(\\frac{1}{\\sin ^2x}-\\frac{1}{x^2}\\right)=\\frac{1}{3}$.",
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 0}\\frac{\\cos x-\\sqrt{1-x^2}}{x^2\\sin ^2x}$ n'existe pas."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
| null |
Développements_limités
|
439
|
Soit $f$ telle que $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x+x^2}$ si $x\neq 0$ et $f(0)=1$. On note $T_0$ la tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $0$ lorsqu'elle existe. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0)f(x)=1-\\frac{x}{2}+\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 0}f(x)=1$ et $f$ est continue en $0$.",
"$f$ est dérivable en $0$ et $\\displaystyle f'(0)=-\\frac{1}{2}$.",
"$T_0$ est la droite d'équation $\\displaystyle y=1-\\frac{x}{2}$ et le graphe de $f$ est en dessous de $T_0$ au voisinage de $0$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Pour écrire le $DL_2(0)f(x)$, on utilise le $DL_3(0)(\mathrm{e}^{x}-1)$. La division suivant les puissances croissantes donne :
$$\displaystyle DL_2(0)f(x)=1-\frac{x}{2}+\frac{2x^2}{3}+o(x^2).$$
Ainsi $\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=1$ et $f$ est continue en $0$ et, puisque $f$ admet un $DL_1(0)$, $f$ est dérivable en $0$. De plus, $T_0$ est la droite d'équation $\displaystyle y=1-\frac{x}{2}$ et puisque $\displaystyle f(x)-y=\frac{2x^2}{3}+o(x^2)\geq 0$ au voisinage de $0$ : le graphe de $f$ est au dessus de $T_0$ au voisinage de $0$.
|
Développements_limités
|
440
|
Soit $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^2+2x+2}$ et $g(x)=f(x-1)$. On note $T$ la tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $-1$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_3(0)g(x)=1-2x+2x^3+o(x^3)$.",
"$T$ est la droite d'équation $y=1-2x$ et le graphe de $f$ est au dessus de $T$ au voisinage de $-1$.",
"$T$ est la droite d'équation $y=1-2x$ et le graphe de $f$ est en dessous de $T$ au voisinage de $-1$.",
"$T$ est la droite d'équation $y=1-2x$ et le point d'abscisse $-1$ est un point d'inflexion."
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
D'abord $\displaystyle g(x)=\frac{1-2x+x^2}{1+x^2}=1-2x+2x^3+o(x^3)$. On en déduit que
$$\displaystyle DL_3(-1)f(x)=1-2(x+1)+2(x+1)^3+o\left((x+1)^3\right).$$
Donc $T$ est la droite d'équation $y=1-2(x+1)$ et le point d'abscisse $-1$ est un point d'inflexion.
|
Développements_limités
|
441
|
Soit $\displaystyle f(x)=x-\sin x$. On note $T_0$ la tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $0$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_3(0)f(x)=\\frac{x^3}{6}+o(x^3)$.",
"$T_0$ est la droite d'équation $y=0$ et $f$ admet un extrémum en $0$.",
"Le point d'abscisse $0$ est un point d'inflexion.",
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 0}\\frac{f(x)}{x^2}$ n'existe pas."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Le $DL_3(0)\sin x$ donne $\displaystyle DL_3(0)f(x)=\frac{x^3}{6}+o(x^3)$. Donc $T_0$ est la droite d'équation $y=0$. Or, au voisinage de $0$, on a :
$$f(x)-y=\frac{x^3}{6}+o(x^3).$$
Ce qui implique que le point d'abscisse $0$ est un point d'inflexion. Enfin,
$$\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim _{x\to 0}\left(\frac{x}{6}+o(x)\right)=0.$$
|
Développements_limités
|
442
|
Soit $\displaystyle f(x)=x\ln \left(\frac{x+1}{x}\right)$. On note $\Gamma$ le graphe de $f$ et on pose $\displaystyle g(x)=f\left(\frac{1}{x}\right)$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_1(0)g(x)=1+\\frac{x}{2}+o(x)$.",
"Au voisinage de $+\\infty$, on a : $\\displaystyle f(x)=1-\\frac{1}{2x}+o\\left(\\frac{1}{x}\\right)$.",
"$\\Gamma$ admet la droite d'équation $y=1$ comme asymptote au voisinage de $+\\infty$.",
"$\\Gamma$ admet la droite d'équation $y=-1$ comme asymptote au voisinage de $-\\infty$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
D'abord, $\displaystyle g(x)=\frac{\ln (1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+o(x)$. Donc, au voisinage de $\pm\infty$, on a :
$$f(x)=1-\frac{1}{2x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\mbox{ car }f(x)=g\left(\frac{1}{x}\right).$$
La droite d'équation $y=1$ est une asymptote au voisinage de $\pm\infty$.
|
Développements_limités
|
443
|
Soit $\displaystyle f(x)=x^2\ln \left(\frac{x+1}{x}\right)$. On note $\Gamma$ le graphe de $f$ et on pose $\displaystyle g(x)=xf\left(\frac{1}{x}\right)$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0)g(x)=1-\\frac{x}{2}+o(x^2)$.",
"Au voisinage de $+\\infty$, on a : $\\displaystyle f(x)=x-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3x}+o\\left(\\frac{1}{x}\\right)$.",
"$\\Gamma$ admet la droite d'équation $\\displaystyle y=x-\\frac{1}{2}$ comme asymptote au voisinage de $+\\infty$.",
"$\\Gamma$ est au dessus de la droite d'équation $\\displaystyle y=x-\\frac{1}{2}$ au voisinage de $-\\infty$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
D'abord, $\displaystyle g(x)=\frac{\ln (1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)$. Donc, au voisinage de $\pm\infty$, on a :
$$f(x)=x-\frac{1}{2}+\frac{1}{3x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\mbox{ car }f(x)=xg\left(\frac{1}{x}\right).$$
La droite d'équation $\displaystyle y=x-\frac{1}{2}$ est une asymptote au voisinage de $\pm\infty$. De plus, au voisinage de $-\infty$, $\displaystyle f(x)-y=\frac{1}{3x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\leq 0$. Donc $\Gamma$ est en dessous de cette droite au voisinage de $-\infty$.
|
Développements_limités
|
444
|
Soit $\displaystyle f(x)=\sqrt{2+x^2}$. On note $\Gamma$ le graphe de $f$ et on pose $\displaystyle g(x)=xf\left(\frac{1}{x}\right)$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0)g(x)=1+x+x^2+o(x^2)$.",
"Au voisinage de $+\\infty$, on a : $\\displaystyle f(x)=x+\\frac{1}{x}+o\\left(\\frac{1}{x}\\right)$.",
"$\\Gamma$ admet la droite d'équation $y=x$ comme asymptote au voisinage de $+\\infty$.",
"$\\Gamma$ est en dessous de la droite d'équation $y=x$ au voisinage de $+\\infty$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
D'abord, au voisinage de $0^+$, on a : $g(x)=\sqrt{1+2x^2}=1+x^2+o(x^2)$ et donc, au voisinage de $+\infty$, on a :
$$f(x)=x+\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\mbox{ car }f(x)=xg\left(\frac{1}{x}\right).$$
La droite d'équation $y=x$ est une asymptote au voisinage de $+\infty$. De plus, au voisinage de $+\infty$, $\displaystyle f(x)-y=\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\geq 0$. Donc $\Gamma$ est au dessus de la droite d'équation $y=x$ au voisinage de $+\infty$.
|
Développements_limités
|
445
|
Soit $\displaystyle f(x)=\sqrt{1+2x}-1$ et $g(x)=\ln (1+x)$. On note $T_0$ la tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $0$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0)f(x)=x-\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ et $\\displaystyle DL_2(0)g(x)=x-\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$T_0$ est la droite d'équation $y=x$ et le graphe de $f$ est au-dessus de $T_0$ au voisinage de $0$.",
"$\\displaystyle DL_1(0)\\frac{f(x)}{g(x)}=1+o(x)$.",
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 0}\\frac{\\sqrt{1+2x}-1}{\\ln (1+x)}=0$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
| null |
Développements_limités
|
446
|
Soit $f$ telle que $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{x^2+2\sin x}$ si $x\neq 0$ et $f(0)=1$. On note $T_0$ la tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $0$ lorsqu'elle existe. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0)f(x)=1+\\frac{x}{2}-\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 0}f(x)=1$ et $f$ est continue en $0$.",
"$f$ est dérivable en $0$ et $\\displaystyle f'(0)=\\frac{1}{2}$.",
"$T_0$ est la droite d'équation $\\displaystyle y=1+\\frac{x}{2}$ et le graphe de $f$ est en dessous de $T_0$ au voisinage de $0$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
| null |
Développements_limités
|
447
|
Soit $\displaystyle f(x)=\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}$ et $g(x)=1-\cos x$. On note $T_0$ la tangente au graphe de $f$ au point $0$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$T_0$ est horizontale et le graphe de $f$ est en dessous de $T_0$ au voisinage de $0$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)g(x)=\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle DL_0(0)\\frac{f(x)}{g(x)}=0+o(1)$.",
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 0}\\frac{\\sqrt{1+2x}-\\sqrt[3]{1+3x}}{1-\\cos x}=1$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
| null |
Développements_limités
|
448
|
On considère les fonctions $f$ et $g$ telles que $\displaystyle f(x)=(1+x)\mathrm{e}^{1/(x+1)}$ et $\displaystyle g(x)=xf\left(\frac{1}{x}\right)$. On note $\Gamma$ le graphe de $f$ et $\Delta$ la droite d'équation $\displaystyle y=x+2$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0^+)g(x)=1+2x+\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 0^+}g(x)=1$ et $\\displaystyle \\lim _{x\\to 0^-}g(x)=-1$.",
"Au voisinage de $+\\infty$, $\\Gamma$ admet la droite $\\Delta$ comme asymptote et $\\Gamma$ est situé au dessus de $\\Delta$.",
"Au voisinage de $-\\infty$, $\\Gamma$ admet la droite $\\Delta$ comme asymptote et $\\Gamma$ est situé au dessus de $\\Delta$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
| null |
Développements_limités
|
449
|
Soit $f$ telle que $\displaystyle f(x)=\frac{2}{\sin (x^2)}+\frac{2}{\ln (1-x^2)}$ si $x\neq 0$ et $f(0)=1$. La tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $0$ lorsqu'elle existe est notée $T_0$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ n'est pas dérivable en $0$.",
"$f$ n'admet pas de développement limité d'ordre $2$ en $0$.",
"$\\displaystyle DL_2(0)f(x)=1+\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$T_0$ est la droite d'équation $\\displaystyle y=1$ et le graphe de $f$ est au dessus de $T_0$ au voisinage de $0$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
| null |
Développements_limités
|
450
|
On considère les fonctions $f$ et $g$ telles que $\displaystyle f(x)=x\arctan x$ et $\displaystyle g(x)=xf\left(\frac{1}{x}\right)$. On note $\Gamma$ le graphe de $f$ et $\Delta$ la droite d'équation $\displaystyle y=\frac{\pi}{2}x-1$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_3(0^+)g(x)=\\frac{\\pi}{2}-x+\\frac{x^3}{3}+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 0}g(x)=\\frac{\\pi}{2}$ et $g$ se prolonge par continuité en $0$.",
"Au voisinage de $+\\infty$, $\\Gamma$ admet la droite $\\Delta$ comme asymptote et $\\Gamma$ est situé au dessus de $\\Delta$.",
"Au voisinage de $-\\infty$, $\\Gamma$ admet la droite $\\Delta$ comme asymptote et $\\Gamma$ est situé au dessus de $\\Delta$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
| null |
Développements_limités
|
451
|
On considère les fonctions $f$ et $g$ telles que $\displaystyle f(x)=x^2\arctan \frac{1}{1+x^2}$ et $\displaystyle g(x)=f\left(\frac{1}{x}\right)$. On note $\Gamma$ le graphe de $f$ et $\Delta$ la droite d'équation $\displaystyle y=1$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0^+)g(x)=1+2x+\\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 0^+}g(x)=1$ et $\\displaystyle \\lim _{x\\to 0^-}g(x)=-1$.",
"Au voisinage de $+\\infty$, $\\Gamma$ admet la droite $\\Delta$ comme asymptote et $\\Gamma$ est situé au dessus de $\\Delta$.",
"Au voisinage de $-\\infty$, $\\Gamma$ admet la droite $\\Delta$ comme asymptote et $\\Gamma$ est situé en dessous de $\\Delta$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
| null |
Développements_limités
|
452
|
Soit $\displaystyle f(x)=x\arctan \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)$. On considère la fonction $g$ telle que $\displaystyle g(x)=f\left(\frac{1}{x}\right)$ et on note $\Gamma$ le graphe de $f$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_2(0^+)g(x)=1-\\frac{5x^2}{6}+o(x^2)$.",
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 0}g(x)=1$ et $g$ se prolonge par continuité en $0$.",
"$\\Gamma$ admet la droite d'équation $\\displaystyle y=1$ comme asymptote au voisinage de $+\\infty$.",
"$\\Gamma$ admet la droite d'équation $\\displaystyle y=1$ comme asymptote au voisinage de $-\\infty$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
| null |
Développements_limités
|
453
|
On considère les fonctions $f$ et $g$ telles que $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+1}\mathrm{e}^{1/(x+1)}$ et $\displaystyle g(x)=xf\left(\frac{1}{x}\right)$. On note $\Gamma$ le graphe de $f$ et $\Delta$ la droite d'équation $y=x+1$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle DL_3(0^+)g(x)=1+x+\\frac{2}{3}x^3+o(x^3)$.",
"$\\displaystyle \\lim _{x\\to 0}g(x)=1$ et $g$ se prolonge par continuité en $0$.",
"Au voisinage de $+\\infty$, $\\Gamma$ admet la droite $\\Delta$ comme asymptote et $\\Gamma$ est situé au dessus de $\\Delta$.",
"Au voisinage de $-\\infty$, $\\Gamma$ admet la droite $\\Delta$ comme asymptote et $\\Gamma$ est situé au dessus de $\\Delta$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
| null |
Développements_limités
|
454
|
On considère $\Rr$ et $\Rr^2$ munis de leurs bases canoniques et $f$ l'application linéaire définie par :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr^2 &\to& \Rr\\
& (x,y)&\to &y-x. \end{array}$$
La matrice de $f$ relativement aux bases canoniques est :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\left(\\begin{array}{rc}",
"$\\left(\\begin{array}{r}",
"$\\left(\\begin{array}{rc}",
"$\\left(\\begin{array}{rcc}"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
respectivement. La matrice de $f$ relativement à ces bases est la matrice dont la $1$ère colonne est $f(e_1)=-1$ et la 2ème colonne est $f(e_2)=1$. Cette matrice est : $\left(\begin{array}{rc}
-1&1\\ \end{array}\right).$
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
455
|
On considère $\Rr$ et $\Rr^2$ munis de leurs bases canoniques et $f$ l'application linéaire définie par :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr &\to& \Rr^2\\
& x&\to &(x,-x). \end{array}$$
La matrice de $f$ relativement aux bases canoniques est :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\left(\\begin{array}{rc}",
"$\\left(\\begin{array}{r}",
"$\\left(\\begin{array}{rc}",
"$\\left(\\begin{array}{rcc}"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
|
456
|
On considère $\Rr^2$ et $\Rr^3$ munis de leurs bases canoniques et $f$ l'application linéaire définie par :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr^2 &\to& \Rr^3\\
& (x,y)&\to &(y,x,-y). \end{array}$$
La matrice de $f$ relativement aux bases canoniques est :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\left(\\begin{array}{rcc}",
"$\\left(\\begin{array}{rcc}",
"$\\left(\\begin{array}{rc}",
"$\\left(\\begin{array}{rcc}"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
0\\1\\0\\\end{array}\right)$ et la 2ème colonne est $f(e_2)=\left(\begin{array}{r}1\\0\\-1\\
\end{array}\right)$. Cette matrice est :
$\left(\begin{array}{rc}0&1\\
1&0\\0&-1\end{array}\right).$
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
457
|
On considère $\Rr^2$ muni de sa base canonique et $f$ l'application linéaire définie par :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr^2 &\to& \Rr^2\\
& (x,y)&\to &(2x+y,4x-3y).\end{array}$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"La matrice de $f$ dans la base canonique est : $",
"La matrice de $f$ dans la base canonique est : $",
"$f$ est injective",
"$f$ est bijective"
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
$
\left(\begin{array}{rc}
2&1\\
4&-3\\
\end{array}\right)$.
\vskip0mm
On vérifie que $\ker f=\{(0,0)\}$, donc $f$ est un endomorphisme injectif de $\Rr^2$,
et donc $f$ est bijectif.
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
458
|
On considère $\Rr^3$ muni de sa base canonique et $f$ l'application linéaire définie par :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr^3 &\to& \Rr^3\\
& (x,y,z)&\to &(x+y,x-z,y+z). \end{array}$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"La matrice de $f$ dans la base canonique est : $",
"La matrice de $f$ dans la base canonique est : $",
"Le rang de $f$ est 2",
"Le rang de $f$ est 3"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
\left(\begin{array}{rcc}
1&1&0\\
1&0&-1\\
0&1&1\\ \end{array}\right)$.
\vskip0mm
On vérifie que $f(e_3)=f(e_2)-f(e_1)$ et que $ f(e_1)$ et $ f(e_2)$ ne sont pas colinéaires, donc $ \{f(e_1), f(e_2)\}$
est une base de $\Im f$ et donc $\mbox{rg} (f)= \dim \Im f = 2$.
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
459
|
Dans $\Rr^2$, on considère la base canonique ${\cal {B}} =\{e_1,e_2\}$ et la base ${\cal {B}}' =\{u_1,u_2\}$, où
$u_1=(1,1)$ et $u_2=(2,3)$. On notera $P$ la matrice de passage de la base ${\cal {B}}$ à la base ${\cal {B}}'$ et $Q$ la matrice de passage de la base ${\cal {B}}'$ à la base ${\cal {B}}$.
\vskip0mm
Définition : Soit $E$ un espace vectoriel muni de deux bases ${\cal {B}}$ et ${\cal {B}}'$.
La matrice de passage de la base ${\cal {B}}$ à la base ${\cal {B}}'$ est la matrice de l'identité de $E$ de la base
${\cal {B}}'$ à la base ${\cal {B}}$. Autrement dit, c'est la matrice dont la jième colonne est constituée des coordonnées du jième vecteur de la base ${\cal {B}'}$ dans la base ${\cal {B}}$.
\vskip2mm
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$P = \\left(\\begin{array}{rc}",
"$P = \\left(\\begin{array}{rc}",
"$Q = \\left(\\begin{array}{rc}",
"$P$ est inversible et $P^{-1}=\\left(\\begin{array}{rc}"
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
$$P = \left(\begin{array}{rc}1&2\\
1&3\\ \end{array}\right)\quad \mbox{et}\quad Q = P^{-1}= \left(\begin{array}{rc}
3&-2\\-1&1\\ \end{array}\right).$$
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
460
|
Dans $\Rr^3$, on considère la base canonique ${\cal {B}} =\{e_1,e_2,e_3\}$ et la base ${\cal {B'}} =\{u_1,u_2,u_3\}$, où
$u_1=(1,1,-1), u_2=(0,2,1)$ et $u_3=(0,1,1)$. On notera $P$ la matrice de passage de la base ${\cal {B}}$ à la base ${\cal {B'}}$ et $Q$ la matrice de passage de la base ${\cal {B'}}$ à la base ${\cal {B}}$.
\vskip0mm
Définition : Soit $E$ un espace vectoriel muni de deux bases ${\cal {B}}$ et ${\cal {B}}'$.
La matrice de passage de la base ${\cal {B}}$ à la base ${\cal {B}}'$ est la matrice de l'identité de $E$ de la base
${\cal {B}}'$ à la base ${\cal {B}}$. Autrement dit, c'est la matrice dont la jième colonne
est constituée des coordonnées du jième vecteur de la base ${\cal {B}'}$ dans la base ${\cal {B}}$.
\vskip2mm
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$P = \\left(\\begin{array}{rcc}",
"$Q = \\left(\\begin{array}{rcc}",
"$Q = \\left(\\begin{array}{rcc}",
"$P$ est inversible et $P^{-1}=\\left(\\begin{array}{rcc}"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
$P = \left(\begin{array}{rcc}
1&0&0\\
1&2&1\\
-1&1&1\\
\end{array}\right)$ et $
Q = P^{-1} = \left(\begin{array}{rcc}
1&0&0\\
-2&1&-1\\
3&-1&2\\
\end{array}\right)$.
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
461
|
Soit $A$ une matrice inversible d'ordre $n\ge 1$ et $f:\Rr^n \to \Rr^n$ l'application linéaire de matrice $A$ dans la base canonique de $\Rr^n$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ est bijective",
"Le noyau de $f$ est une droite vectorielle",
"Le rang de $f$ est $n$",
"Le rang de $A$ est $n$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
\begin{enumerate}
\item[(i)] $A$ est inversible.
\item[(ii)] Le rang de $A$ est $n$.
\item[(iii)] $f$ est bijective.
\item[(iv)] Le rang de $f$ est $n$.
\item[(v)] Le noyau de $f$ est nul.
\end{enumerate}
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
462
|
Dans $\Rr_2[X]$, l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré $\le 2$, on considère la base canonique ${\cal {B}} =\{1,X,X^2\}$ et la base ${\cal {B'}} =\{P_1,P_2,P_3\}$, où
$P_1=X, P_2=1-X$ et $P_3=(1-X)^2$. On notera $P$ la matrice de passage de la base ${\cal {B}}$ à la base ${\cal {B'}}$ et $Q$ la matrice de passage de la base ${\cal {B'}}$ à la base ${\cal {B}}$.
\vskip1mm
Définition : Soit $E$ un espace vectoriel muni de deux bases ${\cal {B}}$ et ${\cal {B}}'$. La matrice de passage de la base ${\cal {B}}$ à la base ${\cal {B}}'$ est la matrice de l'identité de $E$ de la base ${\cal {B}}'$ à la base ${\cal {B}}$. Autrement dit, c'est la matrice dont la jième colonne est constituée des coordonnées du jième vecteur de la base ${\cal {B}'}$ dans la base ${\cal {B}}$.
\vskip1mm
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$P = \\left(\\begin{array}{rcc}",
"$Q = \\left(\\begin{array}{rcc}",
"$Q = \\left(\\begin{array}{rcc}",
"La matrice de l'application identité de $\\Rr_2[X]$ de la base ${\\cal {B'}}$ à la base ${\\cal {B}}$ est :"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
| null |
Applications_linéaires_et_matrices
|
463
|
Soit $u_1=(1,0,0), \; u_2=(1,1,0), \; u_3=(0,1,1), \; v_1=(1,1), \; v_2=(1,-1)$ et $f$ l'application linéaire définie par :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr^3 &\to& \Rr^2\\
& (x,y,z)&\to &(x+y,x-z). \end{array}$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{ u_1, u_2, u_3\\}$ est une base de $\\Rr^3$.",
"$\\{ v_1, v_2\\}$ est une base de $\\Rr^2$.",
"La matrice de $f$ par rapport aux bases $\\{ u_1, u_2, u_3\\}$ et $\\{ v_1, v_2\\}$ est :",
"La matrice de $f$ par rapport aux bases $\\{ u_1, u_2, u_3\\}$ et $\\{ v_1, v_2\\}$ est :"
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
|
464
|
On considère $\Rr^3$ muni de sa base canonique notée ${\cal {B}}$ et
$f$ l'application linéaire définie par :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr^3 &\to& \Rr^3\\
& (x,y,z)&\to &(y+z,x+z,x+y). \end{array}$$
Soit ${\cal {B'}} = \{u_1,u_2,u_3\}$, où
$ u_1=(1,0,0), u_2=(1,1,0), u_3=(1,1,1)$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"${\\cal {B'}}$ est une base de $\\Rr^3$",
"La matrice de $f$ dans la base $ {\\cal {B}}$ est : $",
"La matrice de $f$ de la base $ {\\cal {B'}}$ dans la base $ {\\cal {B}}$ est : $",
"La matrice de $f$ dans la base $ {\\cal {B'}}$ est : $"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
\vskip0mm
La matrice de $f$ dans la base canonique est : $
\left(\begin{array}{rcc}
0&1&1\\
1&0&1\\
1&1&0\\
\end{array}\right)$.
\vskip0mm
La matrice de $f$ de la base $ {\cal {B'}}$ dans la base $ {\cal {B}}$ est : $
\left(\begin{array}{rcc}
0&1&2\\
1&1&2\\
1&2&2\\
\end{array}\right).$
\vskip0mm
La matrice de $f$ dans la base $ {\cal {B'}}$ est : $
\left(\begin{array}{rcc}
-1&0&0\\
0&-1&0\\
1&2&2\\
\end{array}\right)$.
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
465
|
On considère $\Rr^3$ muni de sa base canonique notée ${\cal {B}}$ et
$f$ l'application linéaire définie par :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr^3 &\to& \Rr^3\\
& (x,y,z)&\to &(x+z,2x+2z,-x-z). \end{array}$$
Soit $ u_1=(0,1,0), u_2=(1,2,-1)$ et $ u_3=(1,0,0)$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{u_1,u_2,u_3\\}$ est une base de $\\Rr^3$",
"$\\{u_1 , u_2\\}$ est une base de $\\ker f$.",
"$\\ker f$ et $\\Im f$ sont supplémentaires dans $\\Rr^3$",
"La matrice de $f$ dans la base $\\{u_1,u_2,u_3\\}$ est :"
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
$\{u_1 , u_2\}$ est une base de $\ker f$ et $\{u_2\}$ est une base de $\Im f$. Comme $ \ker f \cap \Im f$ est non nul, $\ker f $ et $\Im f$ ne sont pas supplémentaires dans $\Rr^3$. Comme $f(u_1)=f(u_2)=0$ et $f(u_3)=u_2$, la matrice dans la base
$\{u_1,u_2,u_3\}$ est :
$$\left(\begin{array}{rcc}
0&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0\end{array}\right).$$
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
466
|
Soit $\Rr_2[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré $\le 2$, muni de sa base canonique ${\cal {B}} = \{1,X,X^2\}$ et $f$ l'application linéaire définie par :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr_2[X] &\to& \Rr_2[X]\\
& P&\to &XP', \end{array}$$
où $P'$ est la dérivée de $P$. Soit ${\cal {B'}} = \{P_1,P_2,P_3\}$, où $P_1=1+X, P_2=1-X, P_3=(1+X)^2$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"${\\cal {B'}}$ est une base de $\\Rr_2[X]$.",
"La matrice de $f$ dans la base $ {\\cal {B}}$ est : $",
"La matrice de $f$ de la base $ {\\cal {B'}}$ dans la base $ {\\cal {B}}$ est : $",
"La matrice de $f$ dans la base $ {\\cal {B'}}$ est : $"
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
| null |
Applications_linéaires_et_matrices
|
467
|
Soit $f$ l'endomorphisme de $\Rr^2$ dont la matrice dans la base canonique ${\cal B}=\{e_1,e_2\}$ est :
$$A=\left(\begin{array}{rc}1&3\\
1&-1\\ \end{array}\right).$$
Soit ${\cal B}' = \{ u_1, u_2\}$, où $u_1=(3,1), u_2=(1,-1)$, une base de $\Rr^2$. On note $P$ la matrice de passage de la base ${\cal B}$ à la base ${\cal B}'$ et $B$ La matrice de $f$ dans la base ${\cal B}'$.
\vskip1mm
Définition : Soit $E$ un espace vectoriel muni de deux bases ${\cal {B}}$ et ${\cal {B}}'$. La matrice de passage de la base ${\cal {B}}$ à la base ${\cal {B}}'$ est la matrice de l'identité de $E$ de la base ${\cal {B}}'$ à la base ${\cal {B}}$. Autrement dit, c'est la matrice dont la jième colonne est constituée des coordonnées du jième vecteur de la base ${\cal {B}'}$ dans la base ${\cal {B}}$.
\vskip1mm
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$P=\\left(\\begin{array}{rc}3&1\\\\1&-1\\\\",
"$P^{-1}= \\left(\\begin{array}{rc}3&1\\\\1&-1\\\\",
"$B= \\left(\\begin{array}{rc}-2&0\\\\0&2\\\\",
"$A^n= 2^{n-2}\\left(\\begin{array}{rc}"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
et $P$ la matrice de passage de la base ${\cal {B}}$ à la base ${\cal {B}}'$. Soit $f$ un endomorphisme de $E$ de matrice
$A$ (resp. $B$) dans la base ${\cal {B}}$ (resp. ${\cal {B}}'$).
Alors, on a la relation : $AP=PB$. De cette relation, on déduit que $A^n=PB^nP^{-1}$. $P^{-1}= \frac{1}{4}\left(\begin{array}{rc}
1&1\\ 1&-3\\ \end{array}\right)$, $B= \left(\begin{array}{rc}
2&0\\0&-2\\ \end{array}\right)$ et que
$$A^n= 2^{n-2}\left(\begin{array}{rc}3+(-1)^n&3-3(-1)^n\\
1-(-1)^n &1+3(-1)^n\end{array}\right),\mbox{ pour tout entier }n\ge1.$$
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
468
|
On considère $\Rr_3[X]$, l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré $\le 3$, muni de sa base canonique notée ${\cal {B}}$ et $f$ l'application linéaire définie par :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr_3[X] &\to& \Rr_3[X]\\
& P&\to &R, \end{array}$$
où $R$ est le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-1)^2$. Soit ${\cal {B'}} =\{P_1,P_2,P_3,P_4\}$, où $P_1=1$, $P_2=1-X$, $P_3=(1-X)^2$ et $P_4=X(1-X)^2$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"La matrice de $f$ dans la base $ {\\cal {B}}$ est : $\\left(\\begin{array}{rccc}",
"${\\cal {B'}} $ est une base de $\\Rr_3[X]$",
"La matrice de $f$ dans la base $ {\\cal {B'}}$ est : $\\left(\\begin{array}{rccc}",
"$\\ker f$ et $\\Im f$ sont supplémentaires dans $\\Rr_3[X]$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
\vskip0mm
La matrice de $f$ dans la base ${\cal {B}}$ est : $\left(\begin{array}{rccc}
1&0&-1&-2\\
0&1&2&3\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
\end{array}\right)$.
\vskip0mm
La matrice de $f$ de la base $ {\cal {B'}}$ est : $
\left(\begin{array}{rccc}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
\end{array}\right).$
\vskip0mm
De cette matrice, on déduit que $\{P_1,P_2\}$ est une base de $\Im f$ et $\{P_3,P_4\}$ est une base de $\ker f$. Comme $\{P_1,P_2,P_3,P_4\}$ est une base de $\Rr_3[X]$, $\Im f$ et $\ker f$ sont supplémentaires dans $\Rr_3[X]$.
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
469
|
On considère $\Rr_2[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré $\le 2$ et $\Rr^3$ munis de leurs bases canoniques notées respectivement ${\cal {B}}_1$ et ${\cal {B}}$. Soit $f$ l'application linéaire définie par :
$$\begin{array}{rccc}f:&\Rr_2[X] &\to& \Rr^3\\
& P&\to &\big(P(0),P(1),P(-1)\big). \end{array}$$
On considère la base ${\cal {B}}_2 = \{P_1,P_2,P_3\}$, où $ P_1=1, P_2=1+X, P_3=1+X^2$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"La matrice de $f$ de la base $ {\\cal {B}}_1$ à la base ${\\cal {B}}$ est : $",
"La matrice de $f$ de la base $ {\\cal {B}}_1$ à la base ${\\cal {B}}$ est : $",
"La matrice de $f$ de la base $ {\\cal {B}}_2$ à la base ${\\cal {B}}$ est : $",
"La matrice de $f$ de la base $ {\\cal {B}}_2$ à la base ${\\cal {B}}$ est : $"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
| null |
Applications_linéaires_et_matrices
|
470
|
Soit ${\cal F}$ l'espace vectoriel des fonctions réelles engendré par les fonctions $f_1, \; f_2$ et $f_3$ définies par :
$f_1(x)=1, \; f_2(x)=\cos x$ et $f_3(x)= \sin x$. On munira ${\cal F}$ des bases ${\cal B}=\{f_1,f_2,f_3\}$ et ${\cal B}'=\{f_1,f_2+f_3,f_2-f_3\}$. On notera $P$ la matrice de passage de la base $\cal {B}$ à la base $\cal {B}'$ et $Q$ la matrice de passage de la base ${\cal {B'}}$ à la base ${\cal {B}}$.
\vskip1mm
Définition : Soit $E$ un espace vectoriel muni de deux bases ${\cal {B}}$ et ${\cal {B}}'$. La matrice de passage de la base ${\cal {B}}$ à la base ${\cal {B}}'$ est la matrice de l'identité de $E$ de la base ${\cal {B}}'$ à la base ${\cal {B}}$. Autrement dit, c'est la matrice dont la jième colonne est constituée des coordonnées du jième vecteur de la base ${\cal {B}'}$ dans la base ${\cal {B}}$.
\vskip1mm
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$",
"$",
"$Q= \\frac{1}{2}\\left(\\begin{array}{rcc}",
"La matrice de l'application identité de ${{\\cal F}}$ de la base ${\\cal {B}}$ à la base ${\\cal {B'}}$ est :"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
| null |
Applications_linéaires_et_matrices
|
471
|
Soit $f$ l'endomorphisme de $\Rr^3$ dont la matrice dans la base canonique ${\cal B}=\{e_1,e_2,e_3\}$ est :
$$A = \left(\begin{array}{rcc}
1&-1&1\\
0&1&0\\
0&-1&2\\
\end{array}\right).$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\dim \\ker (f-Id) = 2 $ et $\\dim \\ker (f-2Id) = 1 $",
"$\\dim \\ker (f-Id) = 1 $ et $\\dim \\ker (f-2Id) = 2 $",
"Il existe une base de $\\Rr^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est : $B= \\left(\\begin{array}{rcc}",
"Il existe une matrice $C$ inversible telle que : $C^{-1}AC= \\left(\\begin{array}{rcc}"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
\vskip0mm
Soit $\lambda_1, \lambda_2,\lambda_3$ des réels tels que $\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\lambda_3u_3=0$. En considérant l'image par $f$, on obtient $\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+2\lambda_3u_3=0$. On déduit que $\lambda_3=0$ et comme $\{u_1,u_2\}$ est libre,
$\lambda_1=\lambda_2=0$.
\vskip0mm
Par conséquent, ${\cal B}' = \{u_1,u_2,u_3\}$ est une base de $\Rr^3$. Dans cette base, la matrice de $f$ est : $B= \left(\begin{array}{rcc}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&2\\
\end{array}\right)$. On prend $C$ la matrice de passage de la base ${\cal B}$ à la base ${\cal B}'$, c.à.d la matrice de l'identité de $\Rr^3$ de la base ${\cal B}'$ à la base ${\cal B}$.
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
472
|
Soit $f$ l'endomorphisme de $\Rr^3$ dont la matrice dans la base canonique ${\cal B}=\{e_1,e_2,e_3\}$ est :
$$A = \left(\begin{array}{rcc}
3&-1&1\\
-1&3&1\\
2&2&2\\
\end{array}\right).$$ On note $I$ la matrice identité.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Soit $a\\in \\Rr$. $A-aI$ est inversible si et seulement si $a\\neq 0$ et $a\\neq 4$",
"$\\mbox{rg} (A)=3$ et $\\mbox{rg} (A-4I)=2$",
"$\\dim \\ker f = 2 $ et $\\dim \\ker (f-4Id) = 1 $",
"Il existe une base de $\\Rr^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est :"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
| null |
Applications_linéaires_et_matrices
|
473
|
Soit $f$ l'endomorphisme de $\Rr^3$ dont la matrice dans la base canonique ${\cal B}=\{e_1,e_2,e_3\}$ est :
$$A = \left(\begin{array}{rcc}
-1&1&1\\0&1&1\\ 0&-2&4\end{array}\right).$$
On note $Id$ l'application identité de $\Rr^3$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\dim\\ker (f+Id)=\\dim \\ker (f-2Id)= \\dim \\ker (f-3Id)=1 $",
"$\\dim\\ker (f+Id)=\\dim\\ker (f-2Id)=1$ et $\\dim\\ker (f-3Id)=2$",
"Il existe une base de $\\Rr^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est :",
"L'application $(f+Id)o(f-2Id)o(f-3Id)$ est nulle"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
$\{u_2=(2,3,3)\}$ est une base de $\ker (f-2Id)$ et que $\{u_3=(3,4,8)\}$ est une base de $\ker (f-3Id)$.
Donc $\dim \ker (f+Id)=\dim \ker (f-2Id)= \dim \ker (f-3Id)=1$.
\vskip0mm
On vérifie que ${\cal B}' = \{u_1,u_2,u_3\}$ est une base de $\Rr^3$ et que la matrice de $f$ dans cette base
est : $B= \left(\begin{array}{rcc}-1&0&0\\0&2&0\\ 0&0&3\end{array}\right).$
\vskip0mm
Soit $g= (f+Id)o(f-2Id)o(f-3Id)$. On pose $\lambda_1=-1, \lambda_2=2, \lambda_3=3 $. On vérifie que pour $i=1,2,3$, $g(u_i)=(\lambda_i-\lambda_1)(\lambda_i-\lambda_2)(\lambda_i-\lambda_3)u_i=0$. Par conséquent, $g$ est l'application nulle, puisque ${\cal B}' = \{u_1,u_2,u_3\}$ est une base de $\Rr^3$.
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
474
|
Soit $f$ l'endomorphisme de $\Rr^3$ dont la matrice dans la base canonique ${\cal B}=\{e_1,e_2,e_3\}$ est :
$$A = \left(\begin{array}{rcc}
0&2&-1\\
2&-5&4\\
3&-8&6\\
\end{array}\right).$$
Soit $v_1=(1,1,1), v_2=(1,0,-1), v_3=(0,1,1)$ et ${\cal B}' = \{ v_1, v_2, v_3\}$. On note $Id$ l'application identité de $\Rr^3$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\dim \\ker (f^2-Id) =1$",
"$\\{v_2\\}$ est une base de $\\ker (f^2+Id)$",
"$\\Rr^3=\\ker (f^2-Id) \\oplus \\ker (f^2+Id)$",
"${\\cal B}'$ est une base de $\\Rr^3$ et la matrice de $f^2$ dans cette base est :"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
$\{v_1\}$ est une base de $\ker (f^2-Id)$, que
$\{v_2 ,v_3\}$ est une base de $\ker (f^2+Id)$ et que ${\cal B}' = \{ v_1, v_2, v_3\}$ est une base de $\Rr^3$.
On en déduit que :
$$\Rr^3=\ker (f^2-Id) \oplus \ker (f^2+Id).$$
La matrice de $f^2$ dans la base ${\cal B}'$ est : $\left(\begin{array}{rcc} 1&0&0\\ 0 &-1&0\\
0&0&-1\end{array}\right)$.
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
475
|
Soit $A$ une matrice à coefficients réels, à $3$ lignes et $4$ colonnes. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$A$ est la matrice d'une application linéaire de $\\Rr^3$ dans $\\Rr^4$ dans des bases de $\\Rr^3$ et $\\Rr^4$",
"$A$ est la matrice d'une application linéaire de $\\Rr^4$ dans $\\Rr^3$ dans des bases de $\\Rr^4$ et $\\Rr^3$",
"$A$ est la matrice d'une application linéaire de noyau nul",
"$A$ est la matrice d'une application linéaire bijective"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
$\Rr^3$. D'après le théorème du rang, le noyau d'une telle application est non nul.
\vskip0mm
Comme $A$ n'est pas une matrice carrée, $A$ n'est pas inversible et donc si $f$ est une application linéaire de matrice
$A$, $f$ n'est pas bijective.
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
476
|
Soit $A$ une matrice à coefficients réels, à $4$ lignes et $3$ colonnes. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$A$ est la matrice d'une application linéaire de $\\Rr^3$ dans $\\Rr^4$ dans des bases de $\\Rr^3$ et $\\Rr^4$",
"$A$ est la matrice d'une application linéaire de $\\Rr^4$ dans $\\Rr^3$ dans des bases de de $\\Rr^3$ et $\\Rr^4$",
"$A$ est la matrice d'une application linéaire de rang $4$",
"$A$ est la matrice d'une application linéaire bijective"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
D'après le théorème du rang, le rang d'une telle application est au plus $3$.
\vskip0mm
Comme $A$ n'est pas une matrice carrée, $A$ n'est pas inversible et donc si $f$ est une application linéaire de matrice $A$, $f$ n'est pas bijective.
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
477
|
On considère ${\cal F}$ l'espace vectoriel des fonctions réelles engendré par les fonctions $f_1, \; f_2$ et $f_3$ définies par :
$f_1(x)=1, \; f_2(x)=e^x$ et $f_3(x)=xe^x$. Soit $\phi$ l'application linéaire définie :
$$\begin{array}{rccc}\phi:& {\cal F}&\to& {\cal F}\\
& f&\to &f+f'-f'', \end{array}$$
où $f'$ (resp. $f''$) est la dérivée première (resp. seconde) de $f$. On notera $M$ la matrice de $\phi$ dans la base ${\cal B}=\{f_1, f_2,f_3\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$M=\\left(\\begin{array}{rcc}",
"Le rang de la matrice $M$ est $2$",
"$\\phi $ est bijective.",
"$M$ est inversible et $M^{-1} ="
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
| null |
Applications_linéaires_et_matrices
|
478
|
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $3$ et $f$ un endomorphisme non nul de $E$ tel que $f^2=0$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\Im f \\subset \\ker f$",
"$\\Im f = \\ker f$",
"Le rang de $f$ est $2$",
"Il existe une base de $E$ dans laquelle le matrice de $f$ est : $\\left(\\begin{array}{rcc}0&0&a\\\\"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
D'après le théorème du rang, on déduit que $\dim \ker f=2$ et $\mbox{rg} (f)=1$.
\vskip0mm
Soit $\{u\}$ une base de $\Im f$. On complète cette base pour obtenir une base $\{u,v\}$ de $\ker f$, puis, on complète cette
dernière base pour obtenir une base $\{u,v,w\}$ de $E$. Alors, la matrice de $f$ dans cette base est de la forme :
$\left(\begin{array}{rcc}
0&0&a\\
0&0&0\\
0&0&0\\
\end{array}\right)$, où $a$ est un réel non nul.
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
479
|
On considère $M_2(\Rr)$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $2$ à coefficients réels muni des deux bases ${\cal {B}}= \{ A_1,A_2,A_3,A_4\}$ et ${\cal {B'}}= \{ B_1,B_2,B_3,B_4\}$, où
$$A_1 = \left(\begin{array}{rc}1&0\\0&0\\ \end{array}\right) \; , \; A_2 = \left(\begin{array}{rc}0&1\\
0&0\\ \end{array}\right) \; , \; A_3 = \left(\begin{array}{rc}
0&0\\
1&0\\ \end{array}\right) \; , \; A_4 = \left(\begin{array}{rc}
0&0\\0&1\\ \end{array}\right) \; , $$
$$ B_1 = \left(\begin{array}{rc}1&1\\
0&0\\ \end{array}\right) \; , \; B_2 = \left(\begin{array}{rc}
0&1\\0&1\\ \end{array}\right) \; , \; B_3 = \left(\begin{array}{rc}
0&0\\ 1&1\\ \end{array}\right) \; ,\; B_4 = \left(\begin{array}{rc}
1&0\\-1&0\\ \end{array}\right).$$
On notera $P$ la matrice de passage de la base ${\cal {B}}$ à la base ${\cal {B'}}$ et $Q$ la matrice de passage de la base ${\cal {B'}}$ à la base ${\cal {B}}$.
\vskip1mm
Définition : Soit $E$ un espace vectoriel muni de deux bases ${\cal {B}}$ et ${\cal {B}}'$. La matrice de passage de la base ${\cal {B}}$ à la base ${\cal {B}}'$ est la matrice de l'identité de $E$ de la base ${\cal {B}}'$ à la base ${\cal {B}}$. Autrement dit, c'est la matrice dont la jième colonne est constituée des coordonnées du jième vecteur de la base ${\cal {B}'}$ dans la base ${\cal {B}}$.
\vskip1mm
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$P = \\left(\\begin{array}{rccc}",
"$\\displaystyle P = \\frac{1}{2}\\left(\\begin{array}{rccc}",
"$Q=\\left(\\begin{array}{rccc}",
"La matrice de l'application identité de $M_2(\\Rr)$ de la base ${\\cal {B}}$ à la base ${\\cal {B'}}$ est :"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
| null |
Applications_linéaires_et_matrices
|
480
|
Soit $f$ l'endomorphisme de $\Rr^3$ dont la matrice dans la base canonique ${\cal B}=\{e_1,e_2,e_3\}$ est :
$$A=\left(\begin{array}{rcc}1&0&0\\ -1&1&1\\
0&1&1 \end{array}\right).$$
Soit ${\cal B}' = \{u_1, u_2, u_3\}$, où $u_1=(0,1,-1), u_2=(1,0,1), u_3=(0,1,1)$, une base de $\Rr^3$. On note $P$ la matrice de passage de la base ${\cal B}$ à la base ${\cal B}'$ et $B$ la matrice de $f$ dans la base ${\cal B}'$.
\vskip0mm
Définition : Soit $E$ un espace vectoriel muni de deux bases ${\cal {B}}$ et ${\cal {B}}'$. La matrice de passage de la base ${\cal {B}}$ à la base ${\cal {B}}'$ est la matrice de l'identité de $E$ de la base ${\cal {B}}'$ à la base ${\cal {B}}$. Autrement dit, c'est la matrice dont la jième colonne est constituée des coordonnées du jième vecteur de la base ${\cal {B}'}$ dans la base ${\cal {B}}$.
\vskip0mm
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$P= \\left(\\begin{array}{rcc}",
"$\\displaystyle P= \\frac{1}{2}\\left(\\begin{array}{rcc}",
"$\\displaystyle P^{-1}= \\frac{1}{2}\\left(\\begin{array}{rcc}",
"$A^n= \\left(\\begin{array}{rcc}"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
$$P= \left(\begin{array}{rcc}
0&1&0\\1&0&1\\ -1&1&1\end{array}\right) \Rightarrow P^{-1}= \frac{1}{2}\left(\begin{array}{rcc}
1&1&-1\\2&0&0\\
-1&1&1\end{array}\right).$$
On vérifie aussi que $B=\left(\begin{array}{rcc}0&0&0\\0&1&0\\
0&0&2\end{array}\right)$. D'où $A^n= \left(\begin{array}{rcc}
1&0&0\\-2^{n-1}&2^{n-1}&2^{n-1}\\
1-2^{n-1}&2^{n-1}&2^{n-1}\end{array}\right)$, pour tout entier $n\ge1$.
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
481
|
Soit $f$ l'endomorphisme de $\Rr^3$ dont la matrice dans la base canonique ${\cal B}=\{e_1,e_2,e_3\}$ est :
$$A=\left(\begin{array}{rcc}0&0&1\\0&1&0\\
1&0&0\end{array}\right).$$
Soit ${\cal B}' = \{ u_1, u_2, u_3\}$, où $u_1=(0,1,0), u_2=(1,0,1), u_3=(1,0,-1)$, une base de $\Rr^3$. On note $P$ la matrice de passage de la base ${\cal B}$ à la base ${\cal B}'$ et $B$ la matrice de $f$ dans la base ${\cal B}'$.
\vskip0mm
Définition : Soit $E$ un espace vectoriel muni de deux bases ${\cal {B}}$ et ${\cal {B}}'$. La matrice de passage de la base ${\cal {B}}$ à la base ${\cal {B}}'$ est la matrice de l'identité de $E$ de la base ${\cal {B}}'$ à la base ${\cal {B}}$. Autrement dit, c'est la matrice dont la jième colonne est constituée des coordonnées du jième vecteur de la base ${\cal {B}'}$ dans la base ${\cal {B}}$.
\vskip0mm
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ est bijective",
"$B=\\left(\\begin{array}{rcc}",
"$P^{-1}= \\frac{1}{2}\\left(\\begin{array}{rcc}",
"$A^n=\\frac{1}{2}\\left(\\begin{array}{rcc}"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
| null |
Applications_linéaires_et_matrices
|
482
|
Soit $f$ l'endomorphisme de $\Rr^4$ dont la matrice dans la base canonique ${\cal B}$ est :
$$A=\left(\begin{array}{rccc}1&0&0&0\\
0&1&-1&1\\ 0&-1&1&1\\0&0&0&-1\end{array}\right).$$
Soit ${\cal B}' = \{ a_1, a_2, a_3, a_4\}$, où
$$a_1=(1,0,0,0),\; a_2=(0,1,1,0),\; a_3=(0,1,-1,0),\; a_4=(0,1,1,-1).$$
Soit $(u_n)_{n\ge 0}$, $(v_n)_{n\ge 0}$, $(w_n)_{n\ge 0}$ et $(k_n)_{n\ge 0}$ des suites récurrentes définies par la donnée
des réels $u_0, v_0,w_0,k_0$ et pour $n\ge 1$ :
$$(\mathtt{S})
\left\{\begin{array}{rcc}
u_n&=&u_{n-1}\\
v_n&=&v_{n-1}-w_{n-1}+k_{n-1}\\
w_n&=& -v_{n-1}+w_{n-1}+k_{n-1}\\
k_n&=&-k_{n-1}.\\
\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{a_2\\}$ est une base de $\\ker (f-Id)$ et $\\{a_1\\}$ est une base de $\\ker f$",
"$\\{a_4 \\}$ est une base de $\\ker (f-2Id)$ et $\\{a_3\\}$ est une base de $\\ker (f+Id)$",
"${\\cal B}'$ est une base de $\\Rr^4$ et la matrice de $f$ dans cette base est :",
"Pour tout entier $n\\ge 1$, on a : $$(\\mathtt{S})"
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
$\{a_1\}$ est une base de $\ker (f-Id)$, $\{a_2\}$ est une base de $\ker f$, $\{a_3 \}$ est une base de $\ker (f-2Id)$, $\{a_4\}$ est une base de $\ker (f+Id)$ et que ${\cal B}'$ est une base de $\Rr^4$.
\vskip0mm
La matrice de $f$ dans la base ${\cal B}'$ est :
$B= \left(\begin{array}{rccc}
1&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&2&0\\
0&0&0&-1\\
\end{array}\right)$.
\vskip0mm
La matrice de passage de ${\cal B}$ à ${\cal B}'$ (c.à.d la matrice de l'identité de $\Rr_3[X]$ de
la base ${\cal B}'$ à la base ${\cal B}$)
est : $P= \left(\begin{array}{rccc} 1&0&0&0\\
0&1&1&1\\
0&1&-1&1\\ 0&0&0&-1\\
\end{array}\right)\Rightarrow \displaystyle P^{-1}= \frac{1}{2}\left(\begin{array}{rccc}
2&0&0&0\\
0&1&1&2\\
0&1&-1&0\\
0&0&0&-2\\
\end{array}\right).$
\vskip0mm
De la relation : $A=PBP^{-1}$, on déduit que
$A^n= PB^nP^{-1}=\left(\begin{array}{rccc}
1&0&0&0\\
0 &2^{n-1}&-2^{n-1}&(-1)^{n-1}\\
0 &-2^{n-1}&2^{n-1}&(-1)^{n-1}\\
0 &0&0&(-1)^n\\
\end{array}\right)$, pour tout entier $n\ge 1$.\\
De la relation : $\left(\begin{array}{r}u_n\\v_n\\ w_n\\k_n\end{array}\right) = A \left(\begin{array}{r}
u_{n-1}\\v_{n-1}\\ w_{n-1}\\k_{n-1}\end{array}\right)$, on déduit que :
$\left(\begin{array}{r}u_n\\v_n\\ w_n\\k_n\end{array}\right) = A^n \left(\begin{array}{r}u_0\\v_0\\ w_0\\k_0\end{array}\right)$.
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
483
|
On considère $\Rr_3[X]$, l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré $\le 3$, muni de sa base canonique ${\cal B}=\{1,X,X^2,X^3\}$ et $f$ l'endomorphisme de $\Rr_3[X]$ défini par :
$$f(1)=1,\; f(X)= X-X^2,\; f(X^2)=-X+X^2,\; f(X^3)= X+X^2+2X^3.$$ On note $A$ la matrice de $f$ dans la base ${\cal B}$. Soit $P_1=X+X^2, P_2=1, P_3=X+X^3, P_4=X^2+X^3$ et ${\cal B}' = \{ P_1, P_2, P_3, P_4\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{P_2\\}$ est une base de $\\ker f$ et $\\{P_1\\}$ est une base de $\\ker (f-Id)$",
"$\\{P_3,P_4\\}$ est une base de $\\ker (f-2Id)$",
"${\\cal B}'$ est une base de $\\Rr_3[X]$ et la matrice de $f$ dans cette base est :",
"$A^n=\\left(\\begin{array}{rccc}"
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
$A= \left(\begin{array}{rccc}
1&0&0&0\\
0&1&-1&1\\
0&-1&1&1\\
0&0&0&2\\
\end{array}\right)$. On vérifie que $\{P_1\}$ est une base de $\ker f$, $\{P_2\}$ est une base de $\ker (f-Id)$, $\{P_3,P_4\}$ est une base de $\ker (f-2Id)$ et que ${\cal B}'$ est une base de $\Rr_3[X]$.
\vskip0mm
La matrice de $f$ dans la base ${\cal B}'$ est :
$B= \left(\begin{array}{rccc}
0&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&2&0\\
0&0&0&2\\
\end{array}\right)$. La matrice de passage de la base ${\cal B}$ à la base ${\cal B}'$ est :
$P= \left(\begin{array}{rccc}
0&1&0&0\\
1&0&1&0\\
1&0&0&1\\
0&0&1&1\\
\end{array}\right)$ et donc
$\displaystyle P^{-1}= \frac{1}{2}\left(\begin{array}{rccc}
0&1&1&-1\\
2&0&0&0\\
0&1&-1&1\\
0&-1&1&1\\
\end{array}\right).$
\vskip0mm
Enfin, la relation $A=PBP^{-1}$ donne
$A^n= PB^nP^{-1} = \left(\begin{array}{rccc}
1&0&0&0\\
0 &2^{n-1}&-2^{n-1}&2^{n-1}\\
0 &-2^{n-1}&2^{n-1}&2^{n-1}\\
0 &0&0&2^n\\
\end{array}\right)$, pour tout entier $n\ge1$.
|
Applications_linéaires_et_matrices
|
484
|
Parmi les égalités suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\int _0^1\\frac{\\mathrm{d}x}{(x+1)^2}=\\frac{1}{(1+1)^2}-\\frac{1}{(0+1)^2}=-\\frac{3}{4}$.",
"$\\displaystyle \\int _0^1\\frac{\\mathrm{d}x}{x+1}=\\frac{1}{1+1}-\\frac{1}{0+1}=-\\frac{1}{2}$.",
"$\\displaystyle \\int _0^1\\frac{\\mathrm{d}x}{\\sqrt{x+1}}=2(\\sqrt{2}-1)$.",
"$\\displaystyle \\int _0^1\\sqrt{x+1}\\,\\mathrm{d}x=\\frac{1}{2(\\sqrt{2}-1)}$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
485
|
Parmi les égalités suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\int _0^1\\mathrm{e}^{x}\\,\\mathrm{d}x=\\mathrm{e}-1$ et $\\displaystyle \\int _0^1\\mathrm{e}^{2x}\\,\\mathrm{d}x=\\mathrm{e}^2-1$.",
"$\\displaystyle \\int _0^{\\pi/4}\\sin (2x)\\,\\mathrm{d}x=\\frac{1}{2}$ et $\\displaystyle \\int _0^{\\pi/4}\\cos (2x)\\,\\mathrm{d}x=\\frac{1}{2}$.",
"$\\displaystyle \\int _0^1\\frac{\\mathrm{d}x}{x+1}=\\ln 2$ et $\\displaystyle \\int _0^1\\frac{\\mathrm{d}x}{x+2}=\\ln 3$.",
"$\\displaystyle \\int _0^1\\frac{\\mathrm{d}x}{(1+x)^2}=\\frac{1}{2}$ et $\\displaystyle \\int _0^1\\frac{\\mathrm{d}x}{1+x^2}=\\frac{\\pi}{4}$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
486
|
Parmi les égalités suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\int _0^{\\pi}x\\sin x\\,\\mathrm{d}x=\\int _0^{\\pi}\\cos x\\mathrm{d}x$.",
"$\\displaystyle \\int _0^{\\pi}x\\sin x\\,\\mathrm{d}x=\\pi +\\int _0^{\\pi}\\cos x\\mathrm{d}x$.",
"$\\displaystyle \\int _0^{\\pi}x\\sin x\\,\\mathrm{d}x=\\pi -2$.",
"$\\displaystyle \\int _0^{\\pi}x\\sin x\\,\\mathrm{d}x=\\pi$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
487
|
Parmi les égalités suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\int _0^{\\pi}x\\cos x\\,\\mathrm{d}x=-\\int _0^{\\pi}\\sin x\\,\\mathrm{d}x$.",
"$\\displaystyle \\int _0^{\\pi}x\\cos x\\,\\mathrm{d}x=\\int _0^{\\pi}\\sin x\\,\\mathrm{d}x$.",
"$\\displaystyle \\int _0^{\\pi}x\\cos x\\,\\mathrm{d}x=2$.",
"$\\displaystyle \\int _0^{\\pi}x\\cos x\\,\\mathrm{d}x=-2$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Une intégration par parties, avec $u=x$ et $v=\sin x\Rightarrow v'=\cos x$, donne
$$\int _0^{\pi}x\cos x\,\mathrm{d}x=\Big[x\sin x\Big]_0^{\pi}-\int _0^{\pi}\sin x\mathrm{d}x=-\int _0^{\pi}\sin x\mathrm{d}x=\Big[\cos x\Big]_0^{\pi}=-2.$$
|
Calculs_d'intégrales
|
488
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\int _1^{\\mathrm{e}}\\ln t\\mathrm{d}t=\\Big[t\\ln t\\Big]_1^{\\mathrm{e}}-\\int _1^{\\mathrm{e}}\\mathrm{d}t$.",
"$\\displaystyle \\int _1^{\\mathrm{e}}\\ln t\\mathrm{d}t=1$.",
"$\\displaystyle \\int _1^{2}t\\ln t\\mathrm{d}t=\\Big[t^2\\ln t\\Big]_1^{\\mathrm{e}}-\\int _1^{\\mathrm{e}}t\\mathrm{d}t$.",
"$\\displaystyle \\int _1^{2}t\\ln t\\mathrm{d}t=\\frac{\\mathrm{e}^2+1}{2}$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
489
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\int _0^1x\\mathrm{e}^x\\mathrm{d}x=\\Big[x\\mathrm{e}^x\\Big]_0^1-\\int _0^1\\mathrm{e}^x\\mathrm{d}x$.",
"$\\displaystyle \\int _0^1x\\mathrm{e}^x\\mathrm{d}x=1$.",
"$\\displaystyle \\int _0^1x^2\\mathrm{e}^x\\mathrm{d}x=\\Big[x^2\\mathrm{e}^x\\Big]_0^1-\\int _0^1x\\mathrm{e}^x\\mathrm{d}x$.",
"$\\displaystyle \\int _0^1x^2\\mathrm{e}^x\\mathrm{d}x=\\mathrm{e}-1$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
490
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le changement de variable $t=\\pi -x$ donne $\\displaystyle \\int _{\\pi /2}^{\\pi}\\sin x\\,\\mathrm{d}x=\\int _0^{\\pi /2}\\sin x\\,\\mathrm{d}x$.",
"Le changement de variable $t=2x$ donne $\\displaystyle \\int _0^{\\pi /2}\\sin (2x)\\,\\mathrm{d}x=\\int _0^{\\pi /2}\\sin t\\,\\frac{\\mathrm{d}t}{2}$.",
"Le changement de variable $t=2x$ donne $\\displaystyle \\int _0^{\\pi /2}\\sin (2x)\\,\\mathrm{d}x=\\int _0^{\\pi /4}\\sin t\\,\\frac{\\mathrm{d}t}{2}$.",
"Le changement de variable $t=2x$ donne $\\displaystyle \\int _0^{\\pi /2}\\sin (2x)\\,\\mathrm{d}x=\\int _0^{\\pi /2}\\sin t\\,\\mathrm{d}t$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Avec $t=\pi -x$, on a : $\mathrm{d}t=-\mathrm{d}x$, $t(\pi/2)=\pi/2$, $t(\pi)=0$ et
$$\int _{\pi /2}^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x=-\int _{\pi /2}^0\sin (\pi-t)\,\mathrm{d}t=\int _0^{\pi /2}\sin t\,\mathrm{d}t.$$
Avec le changement de variable $t=2x$, on a : $\mathrm{d}t=2\mathrm{d}x$, $t(0)=0$, $t(\pi/2)=\pi$ et
$$\int _0^{\pi /2}\sin (2x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int _0^{\pi }\sin t\,\mathrm{d}t=\int _0^{\pi /2}\sin t\,\mathrm{d}t\quad \mbox{car}\quad \int _{\pi /2}^{\pi}\sin t\,\mathrm{d}t=\int _0^{\pi /2}\sin t\,\mathrm{d}t.$$
|
Calculs_d'intégrales
|
491
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le changement de variable $t=\\ln x$ donne $\\displaystyle \\int _1^{\\mathrm{e}}\\frac{\\ln x}{x}\\mathrm{d}x=\\int _1^{\\mathrm{e}}t\\, \\mathrm{d}t=\\frac{\\mathrm{e}^2-1}{2}$.",
"Le changement de variable $t=1-x^2$ donne $\\displaystyle \\int _0^{1}2x\\mathrm{e}^{1-x^2}\\mathrm{d}x=-\\int _0^{1}\\mathrm{e}^{t}\\mathrm{d}t$.",
"Le changement de variable $t=1+\\mathrm{e}^x$ donne $\\displaystyle \\int _0^{\\ln 3}\\frac{\\mathrm{e}^x}{1+\\mathrm{e}^x}\\mathrm{d}x=\\ln 2$.",
"Pour tout réel $a>0$, on a : $\\displaystyle \\int _{-a}^{a}\\frac{\\sin x\\, \\mathrm{d}x}{1+\\cos ^2x}=0$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
492
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le changement de variable $t=\\ln x$ donne $\\displaystyle \\int _{\\mathrm{e}}^{\\mathrm{e}^2}\\frac{\\mathrm{d}x}{x\\ln x}=\\int _{\\mathrm{e}}^{\\mathrm{e}^2}\\frac{\\mathrm{d}t}{t}=1$.",
"Le changement de variable $t=x^2+1$ donne $\\displaystyle \\int _0^2\\frac{2x\\,\\mathrm{d}x}{(x^2+1)^2}=\\frac{4}{5}$.",
"Le changement de variable $t=x^2+1$ donne $\\displaystyle \\int _0^1\\frac{x\\,\\mathrm{d}x}{\\sqrt{x^2+1}}=\\int _0^1\\frac{\\mathrm{d}t}{2\\sqrt{t}}=1$.",
"Le changement de variable $t=\\cos x$ donne $\\displaystyle \\int _0^{\\pi/3}\\frac{\\sin x\\,\\mathrm{d}x}{\\cos ^2x}=1$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
493
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\int _{0}^{\\pi /2}\\cos ^2x\\sin x\\,\\mathrm{d}x=-\\frac{1}{3}$.",
"$\\displaystyle \\int _{0}^{\\pi /2}\\sin ^2x\\cos x\\,\\mathrm{d}x=\\frac{1}{3}$.",
"$\\displaystyle \\int _1^4\\frac{\\mathrm{e}^{\\sqrt{x}}}{\\sqrt{x}}\\mathrm{d}x=\\frac{\\mathrm{e}^2}{2}-\\mathrm{e}$.",
"$\\displaystyle \\int _{-\\pi/2}^{\\pi/2}\\frac{\\cos x\\,\\mathrm{d}x}{2+\\sin x}=\\ln 3$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
494
|
L'intégrale $\displaystyle \int _{-\pi/6}^{\pi/3}\tan x\, \mathrm{d}x$ est égale à :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\frac{4}{3}$.",
"$\\displaystyle \\frac{2\\sqrt{3}}{3}$.",
"$\\displaystyle \\int _{\\pi/6}^{\\pi/3}\\tan x\\, \\mathrm{d}x$.",
"$\\displaystyle \\frac{1}{2}\\ln 3$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
495
|
Parmi les égalités suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\int _{1}^{4}\\left(\\frac{1}{t^2}-\\frac{1}{\\sqrt{t}}\\right)\\mathrm{d}\\, t=\\frac{-5}{4}$.",
"$\\forall x\\in \\Rr\\setminus\\{1\\}$, $\\displaystyle\\frac{x}{(x-1)^2}=\\frac{1}{x-1}+\\frac{1}{(x-1)^2}$, et donc $\\displaystyle \\int _{-1}^{0}\\frac{x\\, \\mathrm{d}x}{(x-1)^2}=\\frac{1}{2}-\\ln 2$.",
"$\\displaystyle \\int _{0}^{1/2}\\frac{\\mathrm{d}x}{1-x^2}=\\Big[\\arctan x\\Big]_0^{1/2}=\\arctan (1/2)$.",
"$\\displaystyle \\int _{0}^{1/2}\\frac{\\mathrm{d}x}{1-x^2}=\\Big[\\arctan (-x)\\Big]_0^{1/2}=\\arctan (-1/2)$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
496
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le changement de variable $t=\\sin x$ donne $\\displaystyle \\int _{\\pi/6}^{\\pi/4}\\frac{\\mathrm{d}\\, x}{\\sin x\\tan x}=\\int _{1/2}^{1/\\sqrt{2}}\\frac{\\mathrm{d}\\, t}{t^2}$.",
"$\\displaystyle \\int _{\\pi/6}^{\\pi/4}\\frac{\\mathrm{d}\\, x}{\\sin x\\tan x}=\\frac{1}{\\sqrt{2}}-\\frac{1}{2}$.",
"Le changement de variable $t=\\cos x$ donne $\\displaystyle \\int _{0}^{\\pi/3}\\sin x\\mathrm{e}^{\\cos x}\\mathrm{d}\\, x=\\int _1^{1/2}\\mathrm{e}^t\\mathrm{d}\\, t$.",
"$\\displaystyle \\int _{0}^{\\pi/3}\\sin x\\mathrm{e}^{\\cos x}\\mathrm{d}\\, x=\\mathrm{e}-\\sqrt{\\mathrm{e}}$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
497
|
Soit $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\int _0^2f(x)\\, \\mathrm{d}x=\\int _0^{4}\\frac{\\mathrm{d}t}{t+1}$.",
"$\\displaystyle \\frac{1}{5}\\int _0^{2}x\\, \\mathrm{d}x<\\int _0^2f(x)\\, \\mathrm{d}x<\\int _0^{2}x\\, \\mathrm{d}x$.",
"$\\displaystyle \\int _{-1}^1f(x)\\, \\mathrm{d}x=0$.",
"$\\displaystyle \\int _0^2f(x)\\, \\mathrm{d}x=\\ln 5$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Avec $t=x^2$, on a : $\mathrm{d}t=2x\, \mathrm{d}x$, $t(0)=0$, $t(2)=4$ et
$$\int _0^2f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int _0^{4}\frac{\mathrm{d}t}{t+1}=\frac{1}{2}\Big[\ln (t+1)\Big]^4_0=\frac{1}{2}\ln 5.$$
Pour tout $x\in ]0,2[$, on a : $\displaystyle \frac{x}{5}<f(x)<x$. Donc $\displaystyle \frac{1}{5}\int _0^{2}x\, \mathrm{d}x<\int _0^2f(x)\, \mathrm{d}x<\int _0^{2}x\, \mathrm{d}x$. Enfin, la fonction $f$ étant impaire sur $\Rr$, pour tout $a>0$, on a : $\displaystyle \int _{-a}^af(x)\, \mathrm{d}x=0$.
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Calculs_d'intégrales
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498
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On note $\displaystyle I=\int _{0}^{\ln \sqrt{3}}\frac{\mathrm{e}^x\, \mathrm{d}x}{1+\mathrm{e}^{2x}}$ et $\displaystyle J=\int _{0}^{\ln 2}\frac{\mathrm{d}x}{1+\mathrm{e}^{x}}$. Le changement de variable $t=\mathrm{e}^x$ donne :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle I=\\int _1^{\\sqrt{3}}\\frac{\\mathrm{d}t}{1+t^2}=\\frac{\\pi}{12}$.",
"$\\displaystyle I=\\int _1^{\\sqrt{3}}\\frac{t\\mathrm{d}t}{1+t^2}=\\frac{1}{2}\\ln 2$.",
"$\\displaystyle J=\\int _1^{2}\\frac{\\mathrm{d}t}{1+t}=\\ln 3-\\ln 2$.",
"$\\displaystyle J=\\int _1^{2}\\frac{\\mathrm{d}t}{t(1+t)}=2\\ln 2-\\ln 3$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
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499
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On note $\displaystyle I=\int _{0}^{2}x^2\ln (x+1)\, \mathrm{d}x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
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{
"choices": [
"$\\displaystyle I\\leq 4\\int _{0}^{2}\\ln (x+1)\\, \\mathrm{d}x$.",
"$\\displaystyle I\\geq \\ln 3\\int _{0}^{2}x^2\\, \\mathrm{d}x$.",
"$\\displaystyle I=\\frac{8}{3}\\ln 3+\\frac{1}{3}\\int _{0}^{2}\\frac{x^3\\, \\mathrm{d}x}{x+1}$.",
"$\\displaystyle I=3\\ln 3-\\frac{8}{9}$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
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500
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On pose $\displaystyle I=\int _{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{x\ \mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le changement de variable $t=1-x^2$ donne $\\displaystyle I=-\\int _0^{1/\\sqrt{2}}\\frac{\\mathrm{d}t}{2\\sqrt{t}}$.",
"Le changement de variable $t=1-x^2$ donne $\\displaystyle I=\\int _{1/2}^1\\frac{\\mathrm{d}t}{2\\sqrt{t}}$.",
"Le changement de variable $t=x^2$ donne $\\displaystyle I=\\int _0^{1/\\sqrt{2}}\\frac{\\mathrm{d}t}{2\\sqrt{1-t}}$.",
"Le changement de variable $x=\\sin t$ donne $\\displaystyle I=\\int _{0}^{\\pi/4}\\sin t\\, \\mathrm{d}t$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
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Subsets and Splits
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