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954
| question
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1.36k
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dict | explanation
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⌀ | category
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|---|---|---|---|---|
501
|
On pose $\displaystyle I=\int _{\pi/6}^{\pi/3}\frac{\cos x}{\sin x}\mathrm{d}x$ et $\displaystyle J=\int _{\pi/6}^{\pi/3}\frac{\sin x}{\cos x}\mathrm{d}x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle I=J$.",
"$\\displaystyle I=\\frac{1}{J}$.",
"$\\displaystyle I=\\frac{1}{2}\\ln 3$.",
"$\\displaystyle J=-\\ln \\sqrt{3}$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Avec $t=\pi/2- x\Rightarrow \mathrm{d}t=-\mathrm{d}x$, on obtient : $\displaystyle I=-\int _{\pi/3}^{\pi/6}\frac{\sin t}{\cos t}\mathrm{d}t=J$.
\vskip0mm
Avec $t=\sin x\Rightarrow \mathrm{d}t=\cos x\, \mathrm{d}x$, on obtient : $\displaystyle I=\int _{1/2}^{\sqrt{3}/2}\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln \sqrt{3}$.
|
Calculs_d'intégrales
|
502
|
On pose $\displaystyle I_1=\int _{0}^{\pi/2}\frac{\cos x\,\mathrm{d}x}{1+2\sin x}$, $\displaystyle I_2=\int _{0}^{\pi/2}\frac{\sin (2x)\,\mathrm{d}x}{1+2\sin x}$ et $I=I_1+I_2$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle I=1$.",
"$\\displaystyle I_1=2\\ln 3$.",
"$\\displaystyle I_1=\\frac{1}{2}\\ln 3$.",
"$\\displaystyle I_2=1-2\\ln 3$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
503
|
On note $\displaystyle I=\int _{\pi/6}^{\pi/4}\left(\tan x+\frac{1}{\tan x}\right)\mathrm{d}x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"En écrivant $\\displaystyle \\tan x=\\frac{\\sin x}{\\cos x}$, on obtient : $\\displaystyle I=\\int _{\\pi/6}^{\\pi/4}\\frac{2\\, \\mathrm{d}x}{\\sin (2x)}$.",
"Le changement de variable $t=\\cos (2x)$ donne $\\displaystyle I=\\int _{0}^{1/2}\\frac{2\\mathrm{d}t}{1-t^2}$.",
"$\\forall t\\in \\Rr\\setminus \\{-1,1\\}$, $\\displaystyle \\frac{2}{1-t^2}=\\frac{1}{1-t}+\\frac{1}{1+t}$ et $\\displaystyle \\int \\frac{2\\, \\mathrm{d}t}{1-t^2}=\\ln \\left|\\frac{1+t}{1-t}\\right|+k$, $k\\in \\Rr$.",
"$\\displaystyle I=\\ln 3$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
504
|
On pose $\displaystyle I=\int _0^{\pi/2}x\cos ^2x\, \mathrm{d}x$, $\displaystyle J=\int _0^{\pi/2}x\sin ^2x\, \mathrm{d}x$ et $\displaystyle K=\int _0^{\pi/2}x\cos (2x)\, \mathrm{d}x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Une intégration par parties donne : $\\displaystyle K=\\frac{1}{2}$.",
"$\\displaystyle I+J=\\frac{\\pi ^2}{8}$ et $I-J=K$.",
"$\\displaystyle I=\\frac{\\pi ^2+4}{16}$.",
"$\\displaystyle J=\\frac{\\pi ^2-4}{16}$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
505
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le changement de variable $t=\\sin x$ donne $\\displaystyle \\int _{0}^{\\pi/6}\\frac{\\mathrm{d}x}{\\cos x}=\\int _0^{1/2}\\frac{\\mathrm{d}t}{t^2-1}$.",
"$\\displaystyle \\int _0^{\\pi/6}\\frac{\\mathrm{d}x}{\\cos x}=\\ln \\sqrt{3}$.",
"Le changement de variable $t=\\cos x$ donne $\\displaystyle \\int _{0}^{\\pi/3}\\frac{\\tan x\\, \\mathrm{d}x}{\\cos x}=\\int _1^{1/2}\\frac{\\mathrm{d}t}{t^2}$.",
"$\\displaystyle \\int _{0}^{\\pi/3}\\frac{\\tan x\\, \\mathrm{d}x}{\\cos x}=1$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Avec $t=\sin x\Rightarrow \mathrm{d}t=\cos x\, \mathrm{d}x$, on a : $t(0)=0$, $t(\pi/6)=1/2$ et
$$\displaystyle \int _0^{\pi/6}\frac{\mathrm{d}\, x}{\cos x}=\int _0^{\pi/6}\frac{\cos x\, \mathrm{d}x}{\cos ^2x}=\int _0^{\pi/6}\frac{\cos x\, \mathrm{d}x}{1-\sin ^2x}=\int _0^{1/2}\frac{\mathrm{d}t}{1-t^2}.$$
Or, $\displaystyle \frac{1}{1-t^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)$. Donc $\displaystyle \int _0^{\pi/6}\frac{\mathrm{d}x}{\cos x}=\left[\ln \sqrt{\frac{1+t}{1-t}}\right]_0^{1/2}=\ln \sqrt{3}$.
\vskip0mm
Avec $t=\cos x\Rightarrow \mathrm{d}t=-\sin x\, \mathrm{d}x$, on a : $t(0)=1$, $t(\pi/3)=1/2$ et
$$\displaystyle \int _{0}^{\pi/3}\frac{\tan x\, \mathrm{d}x}{\cos x}=\int _{0}^{\pi/3}\frac{\sin x\, \mathrm{d}x}{\cos ^2x}=-\int _1^{1/2}\frac{\mathrm{d}t}{t^2}=1.$$
|
Calculs_d'intégrales
|
506
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le changement de variable $t=\\sin x$ donne $\\displaystyle \\int _{\\pi/6}^{\\pi/4}\\frac{\\mathrm{d}\\, x}{\\sin x\\cos x}=\\int _{1/2}^{1/\\sqrt{2}}\\frac{\\mathrm{d}\\, t}{t(1-t^2)}$.",
"$\\forall t\\in \\Rr\\setminus \\{-1,0,1\\}$, $\\displaystyle \\frac{1}{t(1-t^2)}=\\frac{1}{t}+\\frac{1}{1-t}-\\frac{1}{1+t}$.",
"Une primitive de $\\displaystyle \\frac{1}{t(1-t^2)}$ sur $]0,1[$ est $\\displaystyle F(t)=\\ln \\frac{t}{1-t^2}$.",
"$\\displaystyle \\int _{\\pi/6}^{\\pi/4}\\frac{\\mathrm{d}\\, x}{\\sin x\\cos x}=\\ln \\sqrt{3}$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
507
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le changement de variable $t=\\cos x$ donne",
"$\\forall t\\in \\Rr\\setminus \\{-1,1\\}$, $\\displaystyle \\frac{4}{(1-t)(1+t)^2}=\\frac{1}{1-t}+\\frac{1}{1+t}+\\frac{2}{(1+t)^2}$.",
"Une primitive de $\\displaystyle \\frac{1}{(1-t)(1+t)^2}$ sur $]-1,1[$ est $\\displaystyle \\ln \\frac{1+t}{1-t}-\\frac{2}{1+t}$.",
"$\\displaystyle \\int _{\\pi/3}^{\\pi/2}\\frac{\\mathrm{d}x}{\\sin x(1+\\cos x)}=\\ln 3+\\frac{2}{3}$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
508
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La dérivée de $\\tan x$ sur $\\displaystyle ]-\\pi/2,\\pi/2[$ est $1+\\tan ^2x$.",
"Le changement de variable $t=\\tan x$ donne $\\displaystyle \\int _0^{\\pi/3}\\frac{\\mathrm{d}x}{1+2\\cos ^2x}=\\int _0^{\\pi/3}\\frac{\\mathrm{d}t}{3+t^2}$.",
"Une primitive de $\\displaystyle \\frac{1}{3+t^2}$ sur $\\Rr$ est $\\displaystyle \\frac{1}{3}\\arctan \\left(\\frac{t}{\\sqrt{3}}\\right)$.",
"$\\displaystyle \\int _0^{\\pi/3}\\frac{\\mathrm{d}x}{1+2\\cos ^2x}=\\frac{\\pi}{4\\sqrt{3}}$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
509
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le changement de variable $t=\\cos x$ donne $\\displaystyle \\int _0^{\\pi/3}\\frac{\\tan x\\, \\mathrm{d}x}{1+\\cos ^2x}=\\int _1^{1/2}\\frac{\\mathrm{d}t}{t(1+t^2)}$.",
"$\\forall t\\in \\Rr^*$, $\\displaystyle \\frac{1}{t(1+t^2)}=\\frac{1}{t}-\\frac{t}{1+t^2}$.",
"Une primitive de $\\displaystyle \\frac{1}{t(1+t^2)}$ sur $]0,+\\infty[$ est $\\displaystyle \\ln \\left(\\frac{t}{\\sqrt{1+t^2}}\\right)$.",
"$\\displaystyle \\int _0^{\\pi/3}\\frac{\\tan x\\, \\mathrm{d}x}{1+\\cos ^2x}=\\frac{1+\\ln 5}{2}$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
510
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le changement de variable $t=\\sqrt{x+1}$ donne $\\displaystyle \\int _{3}^{8}\\frac{\\mathrm{d}\\, x}{x\\sqrt{x+1}}=\\int _{2}^{3}\\frac{2\\mathrm{d}\\, t}{t^2-1}$.",
"$\\displaystyle \\int _{3}^{8}\\frac{\\mathrm{d}\\, x}{x\\sqrt{x+1}}=\\ln \\frac{3}{2}$.",
"Le changement de variable $t=\\sqrt{x+1}$ donne $\\displaystyle \\int _3^8\\frac{\\sqrt{x+1}}{x}\\mathrm{d}x=\\int _2^3\\frac{t^2\\, \\mathrm{d}t}{t^2-1}$.",
"$\\displaystyle \\int _3^8\\frac{\\sqrt{x+1}}{x}\\mathrm{d}x=1+\\frac{1}{2}\\ln \\frac{3}{2}$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
511
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le changement de variable $t=\\sqrt{x}$ donne $\\displaystyle \\int _{1}^{3}\\frac{\\mathrm{d}\\, x}{(x+1)\\sqrt{x}}=\\int _{1}^{\\sqrt{3}}\\frac{2\\mathrm{d}\\, t}{t^2+1}$.",
"$\\displaystyle \\int _1^3\\frac{\\mathrm{d}\\, x}{(x+1)\\sqrt{x}}=\\frac{\\pi}{6}$.",
"Le changement de variable $t=\\sqrt{x}$ donne $\\displaystyle \\int _1^3\\frac{\\sqrt{x}}{x+1}\\mathrm{d}x=\\int _1^{\\sqrt{3}}\\frac{t^2\\, \\mathrm{d}t}{t^2+1}$.",
"$\\displaystyle \\int _1^3\\frac{\\sqrt{x}}{x+1}\\mathrm{d}x=\\sqrt{3}-1-\\frac{\\pi}{12}$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
512
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\forall t\\in \\Rr\\setminus\\{-1\\}$, $\\displaystyle \\frac{2t}{t^2+2t+1}=\\frac{1}{t+1}-\\frac{1}{(t+1)^2}$.",
"$\\displaystyle \\ln (t+1)+\\frac{1}{t+1}$ est une primitive de $\\displaystyle \\frac{2t}{t^2+2t+1}$ sur $]-1,+\\infty[$.",
"Le changement de variable $t=\\sqrt{x}$ donne $\\displaystyle \\int _0^1\\frac{\\mathrm{d}\\, x}{x+2\\sqrt{x}+1}=\\int _0^1\\frac{2t\\mathrm{d}\\, t}{t^2+2t+1}$.",
"$\\displaystyle \\int _0^1\\frac{\\mathrm{d}\\, x}{x+2\\sqrt{x}+1}=2\\ln 2-1$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
513
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\forall t\\in \\Rr$, $\\displaystyle \\frac{2t}{t^2+t+1}=\\frac{2t+1}{t^2+t+1}-\\frac{4}{3}\\frac{1}{\\left(\\frac{2t+1}{\\sqrt{3}}\\right)^2+1}$.",
"$\\displaystyle \\ln (t^2+t+1)-\\frac{2}{\\sqrt{3}}\\arctan \\left(\\frac{2t+1}{\\sqrt{3}}\\right)$ est une primitive de $\\displaystyle \\frac{2t}{t^2+t+1}$ sur $\\Rr$.",
"Le changement de variable $t=\\sqrt{x}$ donne $\\displaystyle \\int _0^1\\frac{\\mathrm{d}x}{x+\\sqrt{x}+1}=\\int _0^1\\frac{t\\, \\mathrm{d}t}{t^2+t+1}$.",
"$\\displaystyle \\int _0^1\\frac{\\mathrm{d}x}{x+\\sqrt{x}+1}=\\frac{\\ln 3}{2}-\\frac{\\pi}{6\\sqrt{3}}$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
514
|
On pose $\displaystyle I=\int _0^{\pi}\mathrm{e}^x\cos ^2x\mathrm{d}x$, $\displaystyle J=\int _0^{\pi}\mathrm{e}^x\sin ^2x\mathrm{d}x$ et $\displaystyle K=\int _0^{\pi}\mathrm{e}^x\cos (2x)\mathrm{d}x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"A l'aide de deux intégrations par parties successives, on obtient : $\\displaystyle K=\\mathrm{e}^{\\pi}-1-4K$ et donc $\\displaystyle K=\\frac{\\mathrm{e}^{\\pi}-1}{5}$.",
"$\\displaystyle I+J=\\mathrm{e}^{\\pi}$ et $I-J=K$.",
"$\\displaystyle I=\\frac{6\\mathrm{e}^{\\pi}-1}{10}$.",
"$\\displaystyle J=\\frac{4\\mathrm{e}^{\\pi}+1}{10}$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
515
|
On pose $\displaystyle I=\int _0^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos ^2x}\mathrm{d}x$ et $\displaystyle J=\int _0^{\pi}\frac{\sin x}{1+\cos ^2x}\mathrm{d}x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le changement de variable $t=\\cos x$ donne $\\displaystyle J=\\int _{-1}^1\\frac{\\mathrm{d}t}{1+t^2}=\\frac{\\pi}{2}$.",
"Le changement de variable $t=\\pi -x$ donne $\\displaystyle I=\\pi J-I$.",
"$\\displaystyle I=\\int _0^{\\pi}x\\, \\mathrm{d}x.\\int _0^{\\pi}\\frac{\\sin x}{1+\\cos ^2x}\\mathrm{d}x=\\frac{\\pi ^2}{2}J$.",
"$\\displaystyle I=\\frac{\\pi ^3}{4}$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
516
|
Soit $\displaystyle f(x)=\frac{6x+8}{(x+3)(x^2-4)}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La d\\'ecomposition en éléments simples de $f$ a la forme : $\\displaystyle f(x)=\\frac{a}{x+3}+\\frac{b}{x^2-4}$.",
"Une primitive de $f$ sur $]-2,2[$ est donn\\'ee par $\\displaystyle F(x)=\\ln \\frac{(4-x^2)}{(x+3)^2}$.",
"$\\displaystyle \\int _{0}^1f(x)\\, \\mathrm{d}x=3\\ln \\frac{3}{4}$.",
"$\\displaystyle \\int _0^{\\pi/2}\\frac{(8+6\\cos t)\\sin t}{(3+\\cos t)(\\cos ^2t-4)}\\, \\mathrm{d}t=3\\ln \\frac{3}{4}$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
517
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le changement de variable $\\displaystyle t=\\cos x$ donne",
"$\\forall t\\in \\Rr\\setminus \\{-1,1\\}$, $\\displaystyle \\frac{4}{(1-t^2)(1+t^2)}=\\frac{1}{1-t}+\\frac{1}{1+t}+\\frac{2}{1+t^2}$.",
"Une primitive de $\\displaystyle \\frac{1}{(1-t^2)(1+t^2)}$ sur $]-1,1[$ est $\\displaystyle \\ln \\left(\\frac{1+t}{1-t}\\right)+2\\arctan t$.",
"$\\displaystyle \\int _{\\pi/3}^{\\pi/2}\\frac{\\mathrm{d}x}{\\sin x(1+\\cos ^2x)}=\\ln 3+2\\arctan \\frac{1}{2}$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
518
|
Soit $f$ la fonction définie par $\displaystyle f(x)=\frac{1}{(4+x^2)^2}$. On pose $\displaystyle I=\int _0^2f(x)\,\mathrm{d}x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"On a : $\\displaystyle \\frac{2}{8^2}\\leq I$ et $\\displaystyle I>\\frac{2}{4^2}$.",
"Le changement de variable $x=2t$ donne $\\displaystyle I=\\int _0^1\\frac{\\mathrm{d}t}{(1+t^2)^2}$.",
"$\\displaystyle I=\\frac{1}{16}\\left(\\left[\\frac{t}{1+t^2}\\right]_0^1+\\int _0^1\\frac{\\mathrm{d}t}{1+t^2}\\right)$.",
"$\\displaystyle I=\\frac{2+\\pi}{64}$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
519
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le changement de variable $\\displaystyle t=\\sqrt{\\frac{1+x}{1-x}}$ donne :",
"$\\displaystyle \\int _1^{\\sqrt{3}}\\frac{\\mathrm{d}t}{t^2+1}=\\frac{\\pi}{6}$.",
"$\\displaystyle \\int _1^{\\sqrt{3}}\\frac{\\mathrm{d}t}{t^2+1}=\\left[\\frac{t}{1+t^2}\\right]_1^{\\sqrt{3}}+\\int _1^{\\sqrt{3}}\\frac{2t^2\\mathrm{d}t}{(t^2+1)^2}$.",
"$\\displaystyle \\int _0^{1/2}\\sqrt{\\frac{1+x}{1-x}}\\mathrm{d}x=\\frac{\\pi}{3}-\\frac{\\sqrt{3}}{2}+1$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
520
|
Soit $n\in \Nn^*$. On note $\displaystyle F_n(x)=\int _0^x\frac{\mathrm{d}t}{(t^2+1)^n}$ et $\displaystyle I_n=\int _1^{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{d}x}{x\left(\ln ^2x+1\right)^n}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle F_{n}(x)=\\frac{x}{(x^2+1)^n}+2n\\int _0^x\\frac{t^2\\,\\mathrm{d}t}{(t^2+1)^{n+1}}$.",
"$\\displaystyle F_1(x)=\\arctan x$ et $\\displaystyle F_2(x)=\\left(\\arctan x\\right)^2$.",
"Le changement de variable $t=\\ln x$ donne $\\displaystyle I_n=F_n(1)$.",
"$\\displaystyle I_1=\\frac{\\pi}{4}$ et $\\displaystyle I_2=\\left(\\frac{\\pi }{4}\\right)^2$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
| null |
Calculs_d'intégrales
|
521
|
Soit l'équation $E : x^n=27$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ a une unique solution réelle quel que soit $n \\ge 1$.",
"$E$ a au moins une solution réelle quel que soit $n \\ge 1$.",
"$E$ a $n$ solutions réelles quel que soit $n \\ge 1$.",
"$E$ a au moins $n$ solutions complexes quel que soit $n \\ge 1$.",
"$E$ a exactement $n$ solutions complexes quel que soit $n \\ge 1$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1,
1
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
522
|
Soit $f:\Rr \to \Rr$, $x \mapsto x^2+1$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ est injective.",
"$f$ n'est pas injective.",
"$f$ est surjective.",
"$f$ n'est pas surjective.",
"La restriction de $f$, $f_| : [1,2] \\to [2,5]$ est bijective."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1,
1
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
523
|
Soit $f:\Cc \to \Cc$, $z \mapsto z^2+1$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ est injective.",
"$f$ n'est pas injective.",
"$f$ est surjective.",
"$f$ n'est pas surjective.",
"La restriction de $f$, $f_| : [1,2] \\to [2,5]$ est bijective."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0,
1
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
524
|
Pour $x,y \in \Rr$ et $z=x+iy$, on pose $e^z=e^x \times
e^{iy}=e^{x+iy}$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$|e^z|=e^x$.",
"$|e^z|= \\sqrt{x^2+y^2}$.",
"Arg $e^z = y$.",
"Arg $e^z=x+y$.",
"La fonction $f:\\Cc \\to \\Cc$, $z \\mapsto e^z$ est injective."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0,
0
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
525
|
Par quoi peut on compléter les pointillés pour que les
\textbf{deux} assertions suivantes soient vraies :
$$ z\in \Cc \ \ z=\overline{z} \ldots\ldots z\in \Rr \quad ; \quad z\in \Cc \ \ z^3=-1 \ldots\ldots z=-1$$
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\implies$ et $\\Longleftarrow$.",
"$\\iff$ et $\\iff$.",
"$\\Longleftarrow$ et $\\iff$.",
"$\\implies$ et $\\implies$.",
"$\\iff$ et $\\Longleftarrow$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
0,
1
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
526
|
Soit la suite $(x_n)_{n\in\Nn^*}$ définie par $x_n =
\frac{(-1)^n}{n}$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\exists N > 0 \\quad \\forall n \\in \\Nn^* \\qquad (n \\ge N \\implies x_n \\ge 0)$.",
"$\\exists \\epsilon >0 \\quad \\forall n \\in \\Nn^* \\qquad x_n \\le \\epsilon$.",
"$\\forall N \\in \\Nn^ * \\quad \\exists n \\ge N \\qquad x_n < 0$.",
"$\\exists n \\in \\Nn^* \\qquad x_n =0$.",
"$\\forall \\epsilon > 0\\ \\ \\exists N \\in \\Nn^* \\ \\ \\forall n \\in \\Nn^* \\ \\ (n\\ge N \\implies |x_n|\\le \\epsilon)$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0,
1
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
527
|
Soit $E$ un ensemble, $A,B \subset E$, soit $A\Delta B = (A\cup B)\setminus(A\cap B)$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies quels que soient $A$ et
$B$ inclus dans $E$ ?
|
{
"choices": [
"$A\\Delta B = (A\\setminus B) \\cup (B\\setminus A)$.",
"$A\\Delta B = (E \\setminus A) \\cap (E \\setminus B)$.",
"Si $B\\subset A$ alors $ A\\Delta B = A$.",
"Si $E$ est un ensemble fini, $\\operatorname{Card}(A\\Delta B) \\le \\operatorname{Card} A+\\operatorname{Card} B$.",
"Si $E$ est un ensemble fini, $\\operatorname{Card}(A\\Delta B) < \\operatorname{Card} A+ \\operatorname{Card} B$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1,
0
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
528
|
Soit la suite $(x_n)_{n\in \Nn}$ définie par $x_0=1$ puis pour
$n \ge 1$ $x_n=\frac {x_{n-1}}{n}$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\forall n\\in \\Nn \\qquad x_n > 0$.",
"$\\forall n \\in \\Nn \\qquad x_{n+1} \\le x_n$.",
"$\\exists N \\in \\Nn \\quad \\exists c \\in \\Rr \\quad \\forall n \\in \\Nn \\qquad (n \\ge N \\implies x_n = c)$.",
"$\\forall n \\in \\Nn \\qquad x_n \\ge \\frac{1}{2}\\frac{1}{n!}$.",
"$\\forall n \\in \\Nn \\qquad x_n \\le \\frac{1}{2}\\frac{1}{n!}$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0,
0
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
529
|
On lance de façon aléatoire deux dés identiques à $6$
faces (numérotées de $1$ à $6$). On ne tient pas compte de
l'ordre, par exemple le tirage $1$ puis $5$ est le même que $5$
puis $1$, mais les tirages $3$ puis $3$, et $3$ puis $4$ sont
distincts.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Il y a $36$ tirages distincts possibles.",
"Il y a $30$ tirages distincts possibles.",
"Il y a $21$ tirages distincts possibles.",
"La somme des deux chiffres a strictement plus de chances d'être $7$ que $2$.",
"La somme des deux chiffres a strictement plus de chances d'être $\\ge 11$ que $\\le 3$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1,
0
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
530
|
Soit $E$ un ensemble fini de cardinal $n$, soit $A\subset E$ un
ensemble à $p$ éléments, et $B \subset E$ un ensemble à
$q$ éléments. On note $\mathcal{S} = \{ (a,b) \in A \times B \mid a\neq b \}$ et
$\mathcal{T} = \{ (I,b) \text{ avec } I\subset A \mid \operatorname{Card} I =r \text{ et } b\in B \}$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $A \\cap B = \\emptyset$ alors $\\operatorname{Card} \\mathcal{S} = p+q$.",
"Si $A \\cap B = \\emptyset$ alors $\\operatorname{Card} \\mathcal{S} = pq$.",
"Si $A \\subset B$ alors $\\mathcal{S} = \\emptyset$.",
"$\\operatorname{Card} \\mathcal{T} = C_n^p \\times r$.",
"$\\operatorname{Card} \\mathcal{T} = C_p^r \\times q$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0,
1
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
531
|
Les propositions suivantes sont-elles vraies quels que soient $\ell
\ge 2$ et $p_1,\ldots,p_\ell$ des nombres premiers $> 2$ ?
|
{
"choices": [
"$p_1p_2\\ldots p_\\ell$ est un nombre premier.",
"Le carré de $p_1$ est un nombre premier.",
"$p_1p_2\\ldots p_\\ell + 1$ est un nombre premier.",
"$\\prod_{i=1}^\\ell p_i$ est un nombre impair.",
"$\\sum_{i=1}^\\ell p_i$ est un nombre impair."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1,
0
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
532
|
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Soit $n\\in \\Nn$ un entier, alors $(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$",
"Soit $n \\ge 6$ un entier pair alors $\\frac{n}{2}$ est impair.",
"La somme et le produit de deux nombres pairs est un nombre pair.",
"$a|b$ et $a'|b' \\quad \\implies \\quad aa'|bb'$.",
"$a|b$ et $a'|b' \\quad \\implies \\quad a+a'| b+b'$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0,
0
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
533
|
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le pgcd de $924$, $441$ et $504$ est $21$.",
"$627$ et $308$ sont premiers entre eux.",
"Si $p \\ge 3$ est premier, alors $p!$ est premier.",
"Soit $n \\ge 2$ alors $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux.",
"Soit $n \\ge 2$ un entier, le pgcd de $\\{ in^i \\text{ pour } i=1,\\ldots ,100 \\}$ est $n$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1,
1
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
534
|
Soient $a,b,c \ge 1$ des entiers.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$ab = \\operatorname{pgcd}(a,b)\\times \\operatorname{ppcm}(a,b)$.",
"$abc = \\operatorname{pgcd}(a,b,c)\\times \\operatorname{ppcm}(a,b,c)$.",
"$\\operatorname{ppcm}(a,b,c)$ est divisible par $c$.",
"$\\operatorname{ppcm}(1932,345)= 19320$.",
"$\\operatorname{ppcm}(5,10,15)= 15$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0,
0
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
535
|
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Soit $a,b,c \\ge 1$ des entiers. Si $a|bc$ et $a$ ne divise pas $b$ alors $a|c$.",
"Sachant que $7$ divise $86419746 \\times 111$ alors $7$ divise $86419746$.",
"Si $a = bq + r$ est la division euclidienne de $a$ par $b$ alors $\\operatorname{pgcd}(a,b) = \\operatorname{pgcd} (b,r)$.",
"Il existe $u,v \\in \\Zz$ tels que $195u+2380v=5$.",
"Sachant qu'il existe $u,v$ tels que $2431u+65520v = 39$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
1,
0
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
536
|
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\exists P \\in \\Zz[X] \\quad \\forall x \\in \\Rr \\qquad P(x) > 0$.",
"$\\forall P \\in \\Zz[X] \\quad \\exists x \\in \\Rr \\qquad |P(x)| < 1$.",
"$\\forall P \\in \\Qq[X] \\qquad x\\in \\Qq \\implies P(x) \\in \\Qq$.",
"$\\forall P \\in \\Cc[X] \\text{ de degré}\\ge 1 \\quad",
"Tout polynôme de degré $2$ ne s'annulant pas, prend uniquement des valeurs positives."
],
"labels": [
1,
0,
1,
1,
0
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
537
|
Soit $P,Q \in\Cc[X]$ des polynômes non nuls $P = \sum_{i=0}^na_iX^i$, soit $I_P = \{i \in \Nn \mid a_i \neq 0\}$, soit $\text{val}(P) = \min I_P$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\text{val}(-X^7+X^3+7X^2)=2$.",
"$\\text{val}(P+Q) \\ge \\text{val}(P)$.",
"$\\text{val}(P\\times Q) \\ge \\text{val}(P)+\\text{val}(Q)$.",
"$\\text{val}(k.P) = k \\cdot \\text{val}(P)$ où $k \\in \\Nn^*$.",
"Si $Q|P$ alors $\\text{val}(P/Q) = \\text{val}(P) - \\text{val}(Q)$."
],
"labels": [
1,
1,
1,
0,
1
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
538
|
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$X^4+X^3-X^2-X$ est divisible par $X(X-1)$.",
"Le reste la division euclidienne de $X^3+X^2+3$ par $X-1$ est $X+4$.",
"Le quotient de $X^5+2X^3+X^2+2X+1$ par $X^2+1$ est $X^3+X+1$.",
"$X-1$ divise $X^n-1$ pour $n \\ge 1$.",
"$X+1$ divise $X^n+1$ pour $n \\ge 1$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
1,
0
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
539
|
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Soit $P\\in \\Cc[X]$. $X-a$ divise $P$ ssi $P(a)=0$.",
"Soit $P\\in \\Rr[X]$ de degré impair. Il existe $x \\in \\Rr$ tel que $P(x) = 0$.",
"Soit $P\\in \\Rr[X]$, les racines de $P^2$ sont d'ordre au moins $2$.",
"Soit $P\\in \\Rr[X]$, $x$ est racine simple ssi $P(x) = 0$.",
"Un polynôme $P\\in \\Cc[X]$ de degré $n$ a $n$ racines réelles."
],
"labels": [
1,
1,
1,
0,
0
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
540
|
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$X^4+1$ est irréductible dans $\\Rr[X]$.",
"$X^2+7$ est irréductible dans $\\Qq[X]$.",
"$X^2+7$ est irréductible dans $\\Cc[X]$.",
"Dans $\\Zz[X]$, $\\operatorname{pgcd}(X(X-1)^2(X^2+1) ,X^2(X-1)(X^2-1) ) = X(X-1)$.",
"Dans $\\Zz[X]$, $\\operatorname{pgcd}(X^4+X^3+X^2+X,X^3-X^2-X+1) = X+1$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0,
1
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
541
|
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$(x\\in \\Qq \\text{ et } y\\in\\Qq) \\implies x+y \\in \\Qq$",
"$(x\\in \\Rr \\setminus \\Qq \\text{ et } y\\in\\Rr \\setminus \\Qq) \\implies x+y \\in \\Rr \\setminus \\Qq$",
"$\\forall x \\in \\Rr \\setminus \\Qq \\quad \\forall y \\in \\Rr \\setminus \\Qq \\qquad x < y \\implies (\\exists z \\in \\Qq \\quad x<z<y)$",
"$(\\forall x \\in \\Rr \\setminus \\Qq) \\quad (\\forall y \\in \\Rr \\setminus \\Qq) \\qquad x < y \\implies (\\exists z \\in \\Rr \\setminus",
"Pour $n\\ge 3$, $n \\text{ impair } \\implies \\sqrt{n}\\in \\Rr \\setminus \\Qq$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1,
0
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
542
|
Soient $A,B,C$ des parties de $\Rr$
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $\\sup A$ existe alors $\\max A$ existe.",
"Si $\\max A$ existe alors $\\sup A$ existe.",
"Pour $A, B$ majorées et $C \\subset A\\cap B$ alors $\\sup C \\le \\sup A$ et $\\sup C \\le \\sup B$.",
"Si $A = \\left\\lbrace \\frac{(-1)^n}n + 1 \\ | \\ n\\in \\Nn^* \\right\\rbrace$ alors $\\inf A = 0$ et $\\sup A =1$.",
"Si $B = \\left\\lbrace \\frac{E(x)}x \\ | x>0 \\right\\rbrace$ alors $\\inf B = 0$ et $\\sup B =1$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0,
1
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
543
|
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $u_n= n\\sin(\\frac 1 n)$ alors $(u_n)$ tend vers $1$.",
"Si $u_n=\\ln (\\ln(n))$ alors $(u_n)$ a une limite finie.",
"$u_n = \\frac{(\\ln n)^2}{\\sqrt n}$ alors $(u_n)$ tend vers $+\\infty$.",
"$u_n = 1+\\frac12 +\\frac14 +\\frac18 + \\cdots +\\frac{1}{2^n}$ alors $(u_n)$ diverge.",
"$u_n = \\sin(n)$, il existe une sous-suite de $(u_n)$ convergente."
],
"labels": [
1,
0,
0,
0,
1
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
544
|
Soit $f(x) = 2x(1-x)$ et la suite définie par $u_0 \in [0,1]$ et $u_{n+1} = f(u_n)$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\forall n\\in \\Nn \\qquad u_n \\in [0,1]$.",
"Quelque soit $u_0$ dans $[0,1]$, $(u_n)$ est monotone.",
"Si $(u_n)$ converge vers $\\ell$ alors $\\ell=0$ ou $\\ell=1$.",
"Si $(u_n)$ converge vers $\\ell$ alors $\\ell=0$ ou $\\ell=\\frac12$.",
"$u_0 \\in]0,1[$ alors $(u_n)$ ne converge pas vers $0$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1,
1
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
545
|
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La somme, le produit et le quotient de deux fonctions continues est continue.",
"La fonction $\\sqrt{\\sqrt{x}}\\ln x$ est prolongeable par continuité en $0$.",
"Il existe $a,b \\ge 0$ tels que fonction définie par $f(x) = -e^x$ si $x<0$ et $f(x) = ax^2+b$ si $x\\ge 0$ soit continue.",
"Toute fonction impaire de $\\Rr$ dans $\\Rr$ est continue en $0$.",
"La fonction $\\frac{\\sqrt{|x|}}{x}$ est prolongeable par continuité en $0$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0,
0
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
546
|
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La méthode de dichotomie est basée sur le théorème des valeurs intermédiaires.",
"Tout polynôme de degré $\\ge 3$ a au moins une racine réelle.",
"La fonction $f(x) = \\frac{1}{x^3(x^2+1)}$ admet au moins une racine réelle dans $]-1,+1[$.",
"Pour $f : \\Rr^+ \\longrightarrow \\Rr$ continue admettant une limite finie en $+\\infty$, $f$ est bornée.",
"Pour $f : \\Rr^+ \\longrightarrow \\Rr$ continue admettant une limite finie qui vaut $f(0)$ en $+\\infty$ alors $f$ est bornée et atteint ses bornes."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1,
0
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
547
|
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La fonction $f(x) = 1/x$ est décroissante sur $\\Rr^*$.",
"La fonction $f(x) = x\\sin\\frac1x$ est continue et dérivable en $0$.",
"La fonction définie par $x\\mapsto 0$ si $x\\in\\Qq$ et $x\\mapsto x^2$ si $x\\notin\\Qq$ est dérivable en $0$.",
"Si $f(x) = P(x)e^x$ avec $P$ un polynôme alors pour tout $n\\in \\Nn$ il existe un polynôme $Q_n$ tel que $f^{(n)}(x) = Q_n(x)e^x$.",
"Si $f(x) = \\sqrt x \\ln x$ si $x\\in \\Rr^*$ et $f(0)=0$ alors $f$ est dérivable en $0$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
1,
0
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
548
|
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $f$ est dérivable sur $[a,b]$ avec $f(a) = f(b)$ il existe un unique $c \\in ]a,b[$ tel que $f'( c ) = 0$.",
"Si $f$ est une fonction continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$ et $f'(x)$ tend vers $\\ell$ quand $x$ tend vers $a$",
"Soit $f(x) = \\ln x$ si $x>0$ et $f(0)= 0$. Pour $x>0$ il existe $c\\in]0,x[$ tel que $\\ln x = \\frac xc$.",
"Si $f$ est dérivable sur $\\Rr$ et $\\lim f(x) = +1$ quand $x\\rightarrow +\\infty$ et $\\lim f(x) = +1$ quand $x\\rightarrow -\\infty$ alors il existe $c \\in \\Rr$ tel que $f'(c)=0$.",
"$\\forall x > 0\\ e^x \\le xe^x+1$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1,
1
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
549
|
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\forall n \\in \\Nn \\ \\lim_{x\\rightarrow +\\infty} \\frac{e^x}{x^n} = +\\infty$.",
"$\\forall x \\in \\Rr \\ \\operatorname{ch} x \\ge \\operatorname{sh} x$.",
"$\\frac{\\operatorname{ch} x}{\\operatorname{sh} x}$ tend vers $1$ quand $x$ tend vers $+\\infty$.",
"$\\operatorname{ch} 2x = 1 + 2\\operatorname{sh}^2 x$.",
"$\\operatorname{th}(a+b) = \\frac{\\operatorname{th} a+ \\operatorname{th} b}{1- \\operatorname{th} a \\operatorname{th} b}$."
],
"labels": [
1,
1,
1,
1,
0
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
550
|
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Un fonction continue $\\Rr \\longrightarrow \\Rr$ strictement décroissante est bijective.",
"Si $f$ est une fonction continue bijective croissante alors $f^{-1}$ est croissante.",
"Si $f$ est une fonction continue bijective ne s'annulant jamais alors $(\\frac 1 f)^{-1} = f$.",
"$\\operatorname{arcsin} (\\sin x) = x$ pour tout $x \\in [0, 2\\pi[$.",
"Si $f(x) = \\operatorname{arctan} (x^2)$ alors $f'(x) = \\frac{1}{1+x^4}$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0,
0
]
}
| null |
QCM_de_révisions_(Arnaud)
|
551
|
Soit ${\cal E}$ une expérience aléatoire et $\Omega$ l'univers qui lui a été associé. Soient $A$ et $B$ deux événements de probabilités respectives $0.5$ et $0.6$.
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ?
|
{
"choices": [
"$A$ est inclus dans $B$ car $\\mathbb{P}(A)\\leq \\mathbb{P}(B)$.",
"$A$ et $B$ ne peuvent pas être incompatibles car $\\mathbb{P}(A)+\\mathbb{P}(B)=1.1>1$.",
"Il est impossible que $A$ et $B$ soient indépendants si $A$ implique $B$.",
"$\\Omega$ est indépendant de tout autre événement.",
"Deux événements quelconques (mais non impossibles) ne peuvent être simultanément incompatibles et indépendants."
],
"labels": [
0,
1,
1,
1,
1
]
}
| null |
Probabilités,_événements
|
552
|
Soit ${\cal E}$ une expérience aléatoire et $\Omega$ l'univers qui lui a été associé. Soient $A$ et $B$ deux événements de probabilités respectives $0.5$ et $0.6$.
Supposons maintenant que $\mathbb{P}(A\cup B)=4/5$. $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
|
{
"choices": [
"Oui.",
"Non.",
"On ne peut pas se prononcer car on ne dispose pas de $\\mathbb{P}(A\\cap B)$.",
"On ne peut pas se prononcer car on ne dispose pas de détails sur l'expérience, sur $\\Omega$, $A$ et $B$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
Oui. Il suffit d'utiliser $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A\cup B)$.
|
Probabilités,_événements
|
553
|
Soit ${\cal E}$ une expérience aléatoire et $\Omega$ l'univers qui lui a été associé. Soient $A$ et $B$ deux événements de probabilités respectives $0.5$ et $0.6$.
Soit $\omega\in\Omega$. Et supposons que $B\subset A$ (dans cette question seulement). Parmi les propositions suivantes, laquelle/lesquelles désigne(nt) un événement ?
|
{
"choices": [
"$\\omega$",
"$\\{\\omega\\}$",
"$(\\omega)$",
"$A\\backslash B$",
"$B\\backslash A$",
"$A|B$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1,
0,
0
]
}
|
Un événement est un ensemble. $\omega$ est seulement un élément pas un ensemble, $(\omega)$ ne veut rien d'autre que $\omega$.
On n'a pas le droit d'écrire $B\backslash A$ si on ne sait pas que $A$ est inclus dans $B$.
$A|B$ n'est pas un événement !
|
Probabilités,_événements
|
554
|
Soit ${\cal E}$ une expérience aléatoire et $\Omega$ l'univers qui lui a été associé. Soient $A$ et $B$ deux événements de probabilités respectives $0.5$ et $0.6$.
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles n'ont aucun sens (c'est-à-dire ne sont pas correctes au niveau du langage mathématique) ?
|
{
"choices": [
"Dans certaines circonstances, on a $\\mathbb{P}(A\\cup B)=\\mathbb{P}(A)\\cup\\mathbb{P}(B)$.",
"Si $C$ est un autre événement impliqué par $A$, on a $A\\cup C\\cap B=A\\cap B$.",
"On a $A\\subset A+B$.",
"$\\{A,B\\} \\subset \\Omega$"
],
"labels": [
1,
1,
1,
1
]
}
|
Quelques commentaires en vrac : on ne réunit pas des probabilités ... on n'a pas le droit d'enchaîner l'utilisation des symboles $\cap$ et $\cup$ sans parenthèses... on n'additionne pas des événements... et $\{ A,B\}$ est un ensemble contenant deux ensembles, donc n'est pas une sous-ensemble de $\Omega$, mais un sous-ensemble de l'ensemble des parties de $\Omega$.
|
Probabilités,_événements
|
555
|
En France, on considère la population ${\cal P}$ des candidats au permis de conduire qui essaient de l'obtenir une fois, puis une seconde fois si la première tentative échoue. Parmi eux, un candidat sur trois l'obtient du premier coup, et parmi ceux qui ne l'ont pas eu du premier coup, 30\% d'entre eux l'obtiennent à la seconde tentative.
On considère l'expérience aléatoire consistant à sélectionner au hasard une personne issue de cette population ${\cal P}$.
Dans ce cadre, le(s)quel(s) des 2 espaces $\Omega$ ci-dessous peu(ven)t être considéré(s) pour cette expérience ?
|
{
"choices": [
"Seulement $\\Omega=\\{$ permis obtenu \\ , \\ permis non obtenu $\\}$.",
"Seulement $\\Omega=\\{$\\ il y a eu une tentative \\ , \\ il y a eu deux tentatives $\\}$.",
"Aucun des deux n'est un univers adéquat.",
"Les deux peuvent convenir."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Les deux peuvent en effet convenir, mais sont des univers pauvres. Par exemple, "le permis a été obtenu à la première tentative" est un événement pour l'un mais pas pour l'autre, et c'est l'inverse pour "le permis a été obtenu"...
|
Probabilités,_événements
|
556
|
En France, on considère la population ${\cal P}$ des candidats au permis de conduire qui essaient de l'obtenir une fois, puis une seconde fois si la première tentative échoue. Parmi eux, un candidat sur trois l'obtient du premier coup, et parmi ceux qui ne l'ont pas eu du premier coup, 30\% d'entre eux l'obtiennent à la seconde tentative.
On considère l'expérience aléatoire consistant à sélectionner au hasard une personne issue de cette population ${\cal P}$.
On suppose désormais qu'un espace $\Omega$ convenable a été choisi (mais on ne le détaille pas ici ; il permet en tout cas de définir les événements adéquats des questions suivantes). La probabilité d'obtenir le permis au plus tard à la seconde tentative vaut :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$1/2$",
"$2/3$",
"Environ $53\\%$",
"Environ $23\\%$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
| null |
Probabilités,_événements
|
557
|
En France, on considère la population ${\cal P}$ des candidats au permis de conduire qui essaient de l'obtenir une fois, puis une seconde fois si la première tentative échoue. Parmi eux, un candidat sur trois l'obtient du premier coup, et parmi ceux qui ne l'ont pas eu du premier coup, 30\% d'entre eux l'obtiennent à la seconde tentative.
On considère l'expérience aléatoire consistant à sélectionner au hasard une personne issue de cette population ${\cal P}$.
Peut-on définir les événements $A=$"la seconde tentative a échoué sachant que la première a échoué"
et $B=$"la première tentative a échoué et la seconde a réussi" ?
|
{
"choices": [
"Oui pour $A$, oui pour $B$.",
"Oui pour $A$, non pour $B$.",
"Non pour $A$, oui pour $B$.",
"Non pour $A$, non pour $B$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
A n'est pas un événement ! En effet, à la question "Est-ce que la seconde tentative a échoué sachant que la première a échoué ?", on ne peut pas répondre par oui ou par non, car la question n'a aucun sens. Ce n'est pas le cas de B, qui définit bien un événement.
|
Probabilités,_événements
|
558
|
En France, on considère la population ${\cal P}$ des candidats au permis de conduire qui essaient de l'obtenir une fois, puis une seconde fois si la première tentative échoue. Parmi eux, un candidat sur trois l'obtient du premier coup, et parmi ceux qui ne l'ont pas eu du premier coup, 30\% d'entre eux l'obtiennent à la seconde tentative.
On considère l'expérience aléatoire consistant à sélectionner au hasard une personne issue de cette population ${\cal P}$.
Que vaut la probabilité d'avoir tenté l'épreuve une seconde fois sachant qu'on a obtenu le permis au final ?
|
{
"choices": [
"Zéro.",
"$0,375$",
"$0,1875$",
"Une autre valeur que les réponses précédentes.",
"La question n'a pas de sens."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0,
0
]
}
| null |
Probabilités,_événements
|
559
|
En France, on considère la population ${\cal P}$ des candidats au permis de conduire qui essaient de l'obtenir une fois, puis une seconde fois si la première tentative échoue. Parmi eux, un candidat sur trois l'obtient du premier coup, et parmi ceux qui ne l'ont pas eu du premier coup, 30\% d'entre eux l'obtiennent à la seconde tentative.
On considère l'expérience aléatoire consistant à sélectionner au hasard une personne issue de cette population ${\cal P}$.
Les événements $R=$"le permis est obtenu à l'issue de l'expérience" et $T=$"Une deuxième tentative a eu lieu" sont-ils :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Indépendants.",
"Incompatibles.",
"Indépendants et incompatibles.",
"Ni l'un ni l'autre."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
| null |
Probabilités,_événements
|
560
|
On suppose que 2000 personnes ont envoyé un SMS dans le cadre d'un mini-jeu télé qui consistait à répondre à une question (particulièrement idiote) à 2 choix. On suppose que la société qui gère ce "jeu-SMS" sélectionne 30 SMS au hasard parmi les 2000.
Dans cette question et les suivantes, on note $\Omega$ l'ensemble de tous les sous-ensembles de 30 SMS (distincts). Combien d'éléments $\Omega$ contient-il ?
|
{
"choices": [
"$C_{2000}^{30}$",
"$A_{2000}^{30}$",
"1971",
"$2000!/30!$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
C'est $C_{2000}^{30}$, voir le cours !
|
Probabilités,_événements
|
561
|
On suppose que 2000 personnes ont envoyé un SMS dans le cadre d'un mini-jeu télé qui consistait à répondre à une question (particulièrement idiote) à 2 choix. On suppose que la société qui gère ce "jeu-SMS" sélectionne 30 SMS au hasard parmi les 2000.
A-t-on équiprobabilité dans cette situation ?
|
{
"choices": [
"Oui.",
"Non."
],
"labels": [
1,
0
]
}
|
Bien sûr que oui. Tous les sous-ensembles de 30 SMS ont autant de chances d'être tirés.
|
Probabilités,_événements
|
562
|
On suppose que 2000 personnes ont envoyé un SMS dans le cadre d'un mini-jeu télé qui consistait à répondre à une question (particulièrement idiote) à 2 choix. On suppose que la société qui gère ce "jeu-SMS" sélectionne 30 SMS au hasard parmi les 2000.
On considère maintenant que vous faites partie des personnes qui ont envoyé un SMS. Quelle est la probabilité que vous soyez sélectionné(e) ?
|
{
"choices": [
"$1.5\\%$",
"$0.03\\%$",
"$0.15\\%$",
"Environ $1.2\\%$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
L'événement en question correspond au sous-ensemble de $\Omega$ contenant tous les sous-ensembles de 30 SMS dont le sien, et cet événement est de cardinal $C_{1999}^{29}$, et cela donne, après simplifications, $\mathbb{P}(A) = 30/2000 = 1,5\%$.
|
Probabilités,_événements
|
563
|
On suppose que 2000 personnes ont envoyé un SMS dans le cadre d'un mini-jeu télé qui consistait à répondre à une question (particulièrement idiote) à 2 choix. On suppose que la société qui gère ce "jeu-SMS" sélectionne 30 SMS au hasard parmi les 2000.
Votre ami(e) fait également partie des personnes ayant envoyé un SMS. Quelle est la probabilité qu'au moins l'un(e) d'entre vous soit tiré(e) au sort ?
|
{
"choices": [
"Deux fois la réponse à la question précédente.",
"Environ 3\\% (mais pas 3\\%).",
"Environ 0,3\\% (mais pas 0,3\\%).",
"Une autre valeur."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Le cardinal du complémentaire $B^c$ de l'événement étudié est clairement $C_{1998}^{30}$, nombre de sous-ensembles de 30 éléments parmi les 1998 SMS restants. Cela donne $\mathbb{P}(B)=1- (1970\times 1969)/(2000\times 1999) \simeq 2.98\%$.
|
Probabilités,_événements
|
564
|
Une expérience consiste à lancer deux dés à 3 "faces" (si, si, ça existe ! \'Equiprobables bien entendu.). On note $A_i=$"le premier dé vaut $i$" et $B_i=$"le second dé vaut $i$" pour chaque $i\in\{1,2,3\}$, ainsi que $S_k=$"la somme des deux dés vaut au plus $k$" pour $k\in \{2,3,4,5,6\}$. On note $\Omega$ l'univers associé à cette expérience.
Parmi les descriptions ci-dessous, laquelle/lesquelles désigne(nt) une partition de $\Omega$ ?
|
{
"choices": [
"$\\{B_1,B_2,B_3\\}$",
"$\\{A_1\\cup A_2,A_3\\}$",
"$\\{S_2,S_3,S_4,S_5,S_6\\}$"
],
"labels": [
1,
1,
0
]
}
|
$\{S_2,S_3,S_4,S_5,S_6\}$ n'est pas du tout une partition car les événements $S_k$ ne sont pas incompatibles deux à deux.
|
Probabilités,_événements
|
565
|
Une expérience consiste à lancer deux dés à 3 "faces" (si, si, ça existe ! \'Equiprobables bien entendu.). On note $A_i=$"le premier dé vaut $i$" et $B_i=$"le second dé vaut $i$" pour chaque $i\in\{1,2,3\}$, ainsi que $S_k=$"la somme des deux dés vaut au plus $k$" pour $k\in \{2,3,4,5,6\}$. On note $\Omega$ l'univers associé à cette expérience.
Parmi les affirmations suivantes, laquelle/lesquelles est/sont erronée(s) ou n'a/n'ont aucun sens ?
|
{
"choices": [
"$(A_1\\cup A_2\\cup A_3)^c=B_1\\cap B_2$",
"$\\mathbb{P}(\\Omega)=\\cup_{i=1}^3\\mathbb{P}(A_i)$",
"$(A_1\\cup A_2)\\cap(B_1\\cup A_3)=(A_1\\cap B_1)\\cup (A_2\\cap B_1)$",
"$S_3=(A_1\\cap B_1)\\cup(A_1\\cap B_2)$",
"$S_5^c=A_3\\cup B_3$",
"$\\mathbb{P}(B_j|A_i)=\\mathbb{P}(B_j)$ \\ $(\\forall (i,j)\\in \\{1,2,3\\}^2)$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0,
0,
1
]
}
|
Pour le $(A_1\cup A_2\cup A_3)^c$, on vérifie que les deux membres sont vides. Pour $\mathbb{P}(\Omega)=\ldots$, on ne réunit pas des probabilités ! Pour $(A_1\cup A_2)\cap\ldots$ on le vérifie en développant à gauche et en rencontrant certaines intersections vides. Pour $S_3=\ldots$ il manque $A_2\cap B_1$. Pour $S^c_5=\ldots$ c'est une intersection plutôt. Pour $\mathbb{P}(B_j|A_i)=\ldots$ chaque $B_j$ est indépendant de chaque $A_i$, oui.
|
Probabilités,_événements
|
566
|
Une expérience consiste à lancer deux dés à 3 "faces" (si, si, ça existe ! \'Equiprobables bien entendu.). On note $A_i=$"le premier dé vaut $i$" et $B_i=$"le second dé vaut $i$" pour chaque $i\in\{1,2,3\}$, ainsi que $S_k=$"la somme des deux dés vaut au plus $k$" pour $k\in \{2,3,4,5,6\}$. On note $\Omega$ l'univers associé à cette expérience.
Que vaut la probabilité de $S_5$ ?
|
{
"choices": [
"$5/6$",
"$7/9$",
"$8/9$"
],
"labels": [
0,
0,
1
]
}
|
Comme $S_5^c = A_3 \cap B_3$ et que $A_3$ et $B_3$ sont indépendants de probabilités $1/3$ alors
on a $\mathbb{P}(S_5) = 1-1/9 = 8/9$.
|
Probabilités,_événements
|
567
|
Une expérience consiste à lancer deux dés à 3 "faces" (si, si, ça existe ! \'Equiprobables bien entendu.). On note $A_i=$"le premier dé vaut $i$" et $B_i=$"le second dé vaut $i$" pour chaque $i\in\{1,2,3\}$, ainsi que $S_k=$"la somme des deux dés vaut au plus $k$" pour $k\in \{2,3,4,5,6\}$. On note $\Omega$ l'univers associé à cette expérience.
Que vaut la probabilité de $S_5\backslash S_2$ ?
|
{
"choices": [
"$2/3$",
"$7/9$",
"$6/9$",
"L'énoncé ne veut rien dire"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
$S_5\backslash S_2$ signifiant $S_5$ privé de $S_2$, et comme $S_2$ est inclus dans $S_5$, alors
$\mathbb{P}(S_5\backslash S_2) = \mathbb{P}(S_5) - \mathbb{P}(S_2)
= 8/9-1/9 = 7/9$.
|
Probabilités,_événements
|
568
|
Une expérience consiste à lancer deux dés à 3 "faces" (si, si, ça existe ! \'Equiprobables bien entendu.). On note $A_i=$"le premier dé vaut $i$" et $B_i=$"le second dé vaut $i$" pour chaque $i\in\{1,2,3\}$, ainsi que $S_k=$"la somme des deux dés vaut au plus $k$" pour $k\in \{2,3,4,5,6\}$. On note $\Omega$ l'univers associé à cette expérience.
Que vaut la probabilité conditionnelle de $S_5$ sachant $S_2$ ?
|
{
"choices": [
"$1/8$",
"$1$",
"$8/9$",
"L'énoncé ne veut rien dire"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
C'est $1$ car $S_2$ est inclus dans $S_5$.
|
Probabilités,_événements
|
569
|
Soit $n$ un entier non nul et $k$ un entier compris entre $1$ et $n$. On considère un tableau contenant $n$ cases vides. Quel est le nombre de façons différentes de noircir $k$ de ces cases ?
|
{
"choices": [
"$k$",
"$n-k$",
"$1-n$",
"Aucune des réponses précédentes."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
La réponse est évidemment $C_n^k$. Trop facile pour avoir faux !
|
Probabilités,_événements
|
570
|
Soit $n$ un entier non nul et $k$ un entier compris entre $1$ et $n$. On lance $n$ fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement $k$ piles ?
|
{
"choices": [
"$C_n^k p^n(1-p)^{n-k}$",
"$\\displaystyle\\frac{k!}{n!(n-k)!}(1/2)^k(1/2)^{n-k}$",
"$n!/(2^n \\, k!(n-k)!)$"
],
"labels": [
0,
0,
1
]
}
|
Ce n'est pas $C_n^k p^n(1-p)^{n-k}$, mais $C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$ et comme $p=1/2$ alors
$p^k(1-p)^{n-k}= \frac{1}{2^n}$.
|
Probabilités,_événements
|
571
|
On considère que dans une équipe de basket, chacun des 12 joueurs a 1 chance sur 4 d'être absent au moins une fois durant le mois de juin. On suppose que l'absence ou la présence d'un joueur n'a pas d'impact sur les chances qu'a un autre joueur de se retrouver absent. On s'intéresse au nombre $N$ de joueurs absents durant le mois de juin.
Quelle est la probabilité que $N$ vaille 3 ?
|
{
"choices": [
"Elle vaut $(1/4)^3\\simeq 1.56\\%$.",
"On ne peut pas savoir, car on ne connaît pas la loi de $N$.",
"Aucune des réponses précédentes."
],
"labels": [
0,
0,
1
]
}
|
$N$ suit bien sûr la loi $B(12,1/4)$, donc la réponse vaut $\simeq 25.81\%$.
|
Variables_discrètes
|
572
|
On considère que dans une équipe de basket, chacun des 12 joueurs a 1 chance sur 4 d'être absent au moins une fois durant le mois de juin. On suppose que l'absence ou la présence d'un joueur n'a pas d'impact sur les chances qu'a un autre joueur de se retrouver absent. On s'intéresse au nombre $N$ de joueurs absents durant le mois de juin.
Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins 4 joueurs absents durant le mois de juin ?
|
{
"choices": [
"Elle vaut exactement $1-\\sum_{k=0}^3 (1/4)^k$.",
"Elle vaut environ $35\\%$.",
"Elle vaut environ $19\\%$.",
"On ne peut pas répondre car la loi de $N$ n'est pas connue."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
C'est $\mathbb{P}(N\geq 4)=1-\mathbb{P}(N\leq 3)\simeq 35\%$.
|
Variables_discrètes
|
573
|
On considère que dans une équipe de basket, chacun des 12 joueurs a 1 chance sur 4 d'être absent au moins une fois durant le mois de juin. On suppose que l'absence ou la présence d'un joueur n'a pas d'impact sur les chances qu'a un autre joueur de se retrouver absent. On s'intéresse au nombre $N$ de joueurs absents durant le mois de juin.
Les familles d'événements
$$
( \; \{N=0\}\, , \, \{N=1\}\, , \ldots , \, \{N=12\} \; ) \makebox[1.5cm][c]{ et }
( \;\{N\leq 0\}\, , \, \{N\leq 1\}\, , \ldots , \, \{N\leq 12\}\; )
$$
constituent-elles des partitions de l'univers $\Omega$ associé à cette expérience ?
|
{
"choices": [
"Oui pour la première, non pour la seconde.",
"Non pour la première, oui pour la seconde.",
"Non pour les deux familles.",
"On ne peut pas le savoir car on ne connaît pas l'univers $\\Omega$ en question."
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
Dans la seconde famille, les événements sont imbriqués les uns dans les autres et ne sont donc pas incompatibles.
|
Variables_discrètes
|
574
|
On considère que dans une équipe de basket, chacun des 12 joueurs a 1 chance sur 4 d'être absent au moins une fois durant le mois de juin. On suppose que l'absence ou la présence d'un joueur n'a pas d'impact sur les chances qu'a un autre joueur de se retrouver absent. On s'intéresse au nombre $N$ de joueurs absents durant le mois de juin.
Que valent l'espérance et le premier quartile de $N$ ?
|
{
"choices": [
"Ils valent respectivement $3$ et $1$.",
"Ils valent respectivement $3$ et $2$.",
"Ils valent respectivement $4$ et $1$.",
"On ne peut toujours pas le dire car on ne connaît toujours pas la loi de $N$ !"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
On a $\mathbb{P}(N\leq 2) \simeq 39,07\% \geq 1/4$ et $\mathbb{P}(N\geq 1) \simeq 84,16\% \geq 3/4$, le premier quartile vaut donc $1$.
|
Variables_discrètes
|
575
|
On considère qu'une personne un peu éméchée accepte de lancer une pièce de monnaie équilibrée jusqu'à faire pile, mais en donnant 10 euros à son voisin de table à chaque fois qu'elle fait face.
Quelle est la loi du nombre $N$ de fois que cette personne fait face (avant de finir par faire pile) ?
|
{
"choices": [
"C'est une loi binomiale de paramètres $10$ et $1/2$.",
"C'est une loi binomiale négative de paramètres $10$ et $1/2$.",
"C'est une loi géométrique sur $\\Nn$ de paramètre $1/2$.",
"C'est une loi géométrique sur $\\Nn^*$ de paramètre $1/2$.",
"C'est une loi de Poisson de paramètre $1/2$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0,
0
]
}
|
C'est le nombre d'échecs jusqu'à réussite dans une succession d'essais indépendants et de même probabilité de réussite $p=\frac 1 2$, donc $\mathbb{P}(N=k)=p(1-p)^{k} \ (\forall k\in\mathbb{N})$.
|
Variables_discrètes
|
576
|
On considère qu'une personne un peu éméchée accepte de lancer une pièce de monnaie équilibrée jusqu'à faire pile, mais en donnant 10 euros à son voisin de table à chaque fois qu'elle fait face.
Que valent $\mathbb{E}(N)$, $\operatorname{Var}(N)$, $\mathbb{E}(N^2)$ ?
|
{
"choices": [
"$\\mathbb{E}(N)=1 $, $\\operatorname{Var}(N)=2$, $\\mathbb{E}(N^2)=3$.",
"$\\mathbb{E}(N)=1 $, $\\operatorname{Var}(N)=2$, $\\mathbb{E}(N^2)=1$.",
"$\\mathbb{E}(N)=2 $, $\\operatorname{Var}(N)=2$, $\\mathbb{E}(N^2)=6$.",
"$\\mathbb{E}(N)=2 $, $\\operatorname{Var}(N)=2$, mais le calcul de $\\mathbb{E}(N^2)$ est trop compliqué.",
"Aucune des réponses ci-dessus."
],
"labels": [
1,
0,
0,
0,
0
]
}
|
Il était conseillé d'utiliser l'astuce souvent utile $\mathbb{E}(N^2)=\operatorname{Var}(N)+(\mathbb{E}(N))^2$.
|
Variables_discrètes
|
577
|
On considère qu'une personne un peu éméchée accepte de lancer une pièce de monnaie équilibrée jusqu'à faire pile, mais en donnant 10 euros à son voisin de table à chaque fois qu'elle fait face.
Que valent $\mathbb{P}(N\geq 2)$ et la médiane de $N$ ?
|
{
"choices": [
"$\\mathbb{P}(N\\geq 2)=1/2$ et la médiane de $N$ vaut $1$.",
"$\\mathbb{P}(N\\geq 2)=1/4$ et la médiane de $N$ vaut $0$.",
"$\\mathbb{P}(N\\geq 2)=3/4$ et la médiane de $N$ vaut $1$.",
"Aucune des réponses ci-dessus."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Variables_discrètes
|
|
578
|
On considère qu'une personne un peu éméchée accepte de lancer une pièce de monnaie équilibrée jusqu'à faire pile, mais en donnant 10 euros à son voisin de table à chaque fois qu'elle fait face.
Quel est le montant moyen que ce joueur devra donner à son voisin de table ?
|
{
"choices": [
"5 euros.",
"10 euros.",
"20 euros.",
"Aucune des réponses ci-dessus."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Variables_discrètes
|
|
579
|
On considère la variable aléatoire $X$ égale au résultat de la somme de 2 dés à 6 faces équilibrés.
Quelle est la loi de $X$ ?
|
{
"choices": [
"$X$ suit la loi uniforme sur $\\{1,2,\\ldots,12\\}$.",
"$X$ suit la loi uniforme sur $\\{2,3,\\ldots,12\\}$.",
"$X$ suit la loi binomiale de paramètres 12 et $1/6$.",
"Aucune des réponses ci-dessus."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
C'est bien sûr la loi sur $\{2,3,...,12\}$ dont les poids sont (exo facile) :
$\{1/36,2/36,3/36,4/36,5/36,6/36,5/36,4/36,3/36,2/36,1/36\}$.
Les questions qui suivent en découlent facilement.
|
Variables_discrètes
|
580
|
On considère la variable aléatoire $X$ égale au résultat de la somme de 2 dés à 6 faces équilibrés.
Que valent l'espérance et la médiane de $X$ ?
|
{
"choices": [
"L'espérance de $X$ vaut $6.5$ et la médiane vaut $7$.",
"Elles valent toutes les deux 7.",
"Elles valent d'autres valeurs que celles proposées ci-dessus."
],
"labels": [
0,
1,
0
]
}
| null |
Variables_discrètes
|
581
|
On considère la variable aléatoire $X$ égale au résultat de la somme de 2 dés à 6 faces équilibrés.
Que valent $\mathbb{P}(X\geq 4)$ et la variance de $X$ ?
|
{
"choices": [
"$\\mathbb{P}(X\\geq 4)=3/4$ et $\\mathbb{V}ar(X)=329/6$.",
"$\\mathbb{P}(X\\geq 4)=1/4$ et $\\mathbb{V}ar(X)=35/6$.",
"$\\mathbb{P}(X\\geq 4)=14/36$ et $\\mathbb{V}ar(X)=35/6$.",
"$\\mathbb{P}(X\\geq 4)=11/12$ et $\\mathbb{V}ar(X)\\simeq 5.8$."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
%%% réponse=1-(1+2)/36=11/12 et var=329/6 - 7^2 = 35/6 =5.83333
|
Variables_discrètes
|
582
|
Les deux questions ci-dessous n'ont aucun rapport entre elles (les variables notées $X$ ne sont donc pas les mêmes dans ces deux questions).
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\Nn$ vérifiant $\mathbb{P}(X\geq 3)=64\%$. Que peut-on dire de la médiane de $X$ ?
|
{
"choices": [
"Elle vaut 3.",
"Elle est inférieure ou égale à 3.",
"Elle est supérieure ou égale à 3.",
"On manque d'informations pour affirmer l'une des propositions ci-dessus."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Elle ne vaut pas forcément $3$ (par exemple, on peut très bien avoir $\mathbb{P}(X=3)=11\%$ donc $\mathbb{P}(X\leq 3)=\mathbb{P}(X\leq 2)+\mathbb{P}(X= 3)=(1-0.64)+0.11=0.47=47\%$ donc $\mathbb{P}(X\leq 3)<1/2$), et elle est $\geq 3$ car si $k\leq 2$, par croissance de la fonction de répartition on a $\mathbb{P}(X\leq k) \leq \mathbb{P}(X\leq 2)= 1-\mathbb{P}(X>2) =1-\mathbb{P}(X\geq 3) = 1-0.64 < 1/2$.
|
Variables_discrètes
|
583
|
Les deux questions ci-dessous n'ont aucun rapport entre elles (les variables notées $X$ ne sont donc pas les mêmes dans ces deux questions).
Soit $X$ une variable aléatoire réelle d'espérance $2$ et de variance $2$. Peut-on calculer l'espérance de $Y=2X^2+1$ ?
|
{
"choices": [
"Non, car on ne connait pas $\\mathbb{E}(X^2)$.",
"Oui, elle vaut 13.",
"Oui, elle vaut 5."
],
"labels": [
0,
1,
0
]
}
|
Variables_discrètes
|
|
584
|
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{0,1,2\}$ et de loi donnée par
où $a$ est une constante réelle.
Quelles valeurs la constante $a$ a-t-elle le droit de prendre ?
|
{
"choices": [
"Toutes les valeurs de $]0,1[$ car $\\mathbb{P}(X=0)+\\mathbb{P}(X=1)+\\mathbb{P}(X=2)=1$.",
"Seulement la valeur $a=1/4$.",
"Toutes les valeurs de $]0,1/2[$.",
"Une autre réponse que les précédentes."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Variables_discrètes
|
|
585
|
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{0,1,2\}$ et de loi donnée par
où $a$ est une constante réelle.
Que valent l'espérance et la variance de $X$ ?
|
{
"choices": [
"$\\mathbb{E}(X)=1$ et $\\operatorname{Var}(X)=1+2a$.",
"$\\mathbb{E}(X)=2a$ et $\\operatorname{Var}(X)=4a^2$.",
"$\\mathbb{E}(X)=1$ et $\\operatorname{Var}(X)=2a$."
],
"labels": [
0,
0,
1
]
}
| null |
Variables_discrètes
|
586
|
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{0,1,2\}$ et de loi donnée par
où $a$ est une constante réelle.
On pose $Y=4-2X$. \emph{Sans déterminer la loi de $Y$}, peut-on calculer l'espérance et l'écart-type de $Y$ ?
|
{
"choices": [
"Oui, ils valent respectivement $2$ et $\\sqrt{8a}$.",
"Oui, ils valent respectivement $2$ et $\\sqrt{4(1-a)}$.",
"Oui, ils valent respectivement $4(1-a)$ et $4a$.",
"Oui, mais aucune des propositions précédentes n'est correcte.",
"Non, il nous faut nécessairement la loi pour calculer ces caractéristiques de $Y$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
0,
0
]
}
|
Variables_discrètes
|
|
587
|
Parmi les expressions ci-dessous, lesquelles permettent de définir des densités de lois continues ? (Ci-dessous, les lettres $c$ et $c'$ désignent des constantes qu'il n'est pas obligatoire de calculer, mais qui ont la valeur adéquate pour que les fonctions en question soient des densités, si elles le peuvent.)
|
{
"choices": [
"$f_1(x) = \\displaystyle\\frac {c} x \\, \\mathbb{I}_{[1,+\\infty[}(x)$",
"$f_2(x) = c' \\, x^{24} \\, \\mathbb{I}_{[-100,100]}(x)$",
"$f_3(x) = \\frac 4{15} x^3 \\, \\mathbb{I}_{[-1,2]}(x)$",
"$f_4(x) = \\frac {\\pi}2 \\sin(\\pi x) \\, \\mathbb{I}_{[0,1]}(x)$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
0
]
}
|
Pour $f_1$, la fonction $x\mapsto 1/x$ n'est pas intégrable en $+\infty$. Pour $f_2$, $c'$ existe bien mais est de très faible valeur... Pour $f_3$, la fonction n'est pas positive partout donc non. Quant à $f_4$, contrairement aux apparences elle est bien positive partout, et intégrable, donc oui, et on vérifie qu'elle est bien d'intégrale $1$.
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Variables_continues
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588
|
Soit $X$ le temps de trajet quotidien de Katrin, en heures, variable aléatoire de densité définie par
$$ f_X(x) = x\, e^{-x} \mathbb{I}_{[0,+\infty[}(x) $$
Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?
|
{
"choices": [
"$\\mathbb{E}(X)=1$ et $\\mathbb{P}(X>1)\\simeq 63.2\\%$.",
"$\\mathbb{E}(X)=2$ et $\\mathbb{P}(X>1)\\simeq 26.4\\%$.",
"$\\mathbb{P}(X>1)\\simeq 73.6\\%$ et on ne peut pas facilement déterminer la médiane de $X$.",
"$\\mathbb{E}(X)$ vaut $+\\infty$ (c'est-à-dire $X$ n'admet pas d'espérance) et $\\mathbb{P}(X>1)\\simeq 26.4\\%$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
$\mathbb{E}(X)$ vaut effectivement $2$, mais $F(x)=1-(1+x)e^{-x}$ donc $\mathbb{P}(X>1)=\bar F(1) \simeq 73.6\%$. Quant à la médiane, $F$ est bien strictement croissante (le vérifier), mais l'équation $F(x)=1/2$ n'a pas de résolution explicite, il faut recourir à un schéma numérique pour la résoudre.
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Variables_continues
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589
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On suppose que le temps d'attente (en minutes) d'un bus est une variable aléatoire de densité définie par
$$ f_X(x)= \frac{2}{15}\left(1-\frac{x}{15}\right)\mathbb{I}_{[0,15]}(x) $$
Si l'on suppose que ces temps d'attente pendant 10 jours sont indépendants et de même loi (celle définie précédemment), quelle est la probabilité qu'on ait, durant ces 10 jours, a attendre plus de 10 minutes au moins 3 fois ?
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{
"choices": [
"Environ $5\\%$.",
"Environ $9\\%$.",
"Environ $21\\%$.",
"Environ $90\\%$.",
"On ne peut pas répondre à la question, il manque des éléments pour mener le calcul."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0,
0
]
}
|
On est dans un schéma binomial, on cherche la probabilité $\mathbb{P}(N\geq 3)$ où $N$ est de loi binomiale de paramètres $10$ et $p=\mathbb{P}(X>10)=1/9$ (après calcul). On trouve environ $\mathbb{P}(N\geq 3)=1-\sum_{k=0}^2 \mathbb{P}(N=k)\simeq 9\%$.
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Variables_continues
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590
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On considère que la quantité de pain (en centaines de kg) qu'une boulangerie vend en une journée est une variable aléatoire de loi de densité définie par
\[
f_X(x) = \left\{ \begin{array}[c]{cl} x & \mbox{ si $0\leq x\leq 1$} \\ 2-x & \mbox{ si $1\leq x\leq 2$} \\ 0 & \mbox{ sinon} \end{array} \right.
\]
On introduit les événements $A$="la boulangerie vendra demain au moins 100kg de pain" et $B$="la boulangerie vendra demain entre 50 et 150kg de pain". Les événements $A$ et $B$ sont ils indépendants ?
|
{
"choices": [
"Oui.",
"Non."
],
"labels": [
1,
0
]
}
|
On a $A = \{ X \geq 1 \}$, $B = \{ 0.5 \leq X \leq 1.5 \}$, $A \cap B = \{ 1 \leq X \leq 1.5 \}$ ; il suffit alors de déterminer la fonction de répartition $F$ de $X$, et de vérifier que $\mathbb{P}( A \cap B ) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B)$, c'est-à-dire que $F(1.5) - F(1) = (1-F(1)) (F(1.5) - F(0.5))$. On trouve alors qu'il y a bien égalité.
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Variables_continues
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591
|
Soit $X$ une variable aléatoire de loi ${\cal N}(0,1)$. On pose $Y=X^2$ (on dit que la loi de $Y$ est la loi du $\chi^2$ à 1 degré de liberté). On a bien sûr $f_Y(x)=0$ si $x<0$ car $Y$ est une variable positive, mais quelle est l'expression de la densité de $Y$ pour $x>0$ ? (Ci-dessous, $\varphi$ désigne la densité de la loi ${\cal N}(0,1)$ bien sûr.)
|
{
"choices": [
"$f_Y(x) = 2x\\varphi(x^2)$",
"$f_Y(x) = \\varphi(\\sqrt{x}) / \\sqrt{x}$",
"$f_Y(x) = \\varphi(\\sqrt{x})$",
"$f_Y(x) = (\\varphi(x))^2$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Si on note $F_Y$ la fonction de répartition de $Y$ et $\Phi$ celle de $X$, alors on a, pour $y>0$, $F_Y(y)= \mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}(|X|\leq \sqrt{y})=2\Phi(\sqrt{y})-1$. On obtient alors la réponse en dérivant cette fonction composée (et avec $\Phi'=\varphi$). Noter que la loi du $\chi^2$ à $n$ degrés de libertés est la loi de $Y=X_1^2+\cdots+X_n^2$ lorsque $X_1,\ldots,X_n$ sont des variables indépendantes gaussiennes centrées réduites. C'est une loi très importante en statistique. On prononce $\chi^2$ "ki-deux" ou "ki-carré". %Les plus curieux(ses) d'entre vous pourront aller voir dans un livre ou sur internet comment calculer des probabilités ou des quantiles de ces lois, à l'aide de tables, comme pour les gaussiennes.
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Variables_continues
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592
|
Soit $X$ une variable aléatoire de loi ${\cal N}(30,25)$. Lesquelles (ou laquelle) des affirmations suivantes sont vraies ?
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{
"choices": [
"$X$ a environ 5\\% de chances d'être entre $-20$ et $80$, et $\\mathbb{P}(X>30)=1/2$.",
"Le premier quartile de $X$ est environ égal à $26.7$ et $\\mathbb{P}(X<30)=1/2$.",
"La loi de $Y=2X$ est ${\\cal N}(60,50)$ et $\\mathbb{P}(20\\leq X\\leq 40)\\simeq 95\\%$.",
"$\\mathbb{P}(|X-30|>20)\\simeq 0$ et la loi de $Y=2X+10$ est ${\\cal N}(70,100)$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Dans cette question, il faut surtout prendre garde à ne pas confondre la variance et l'écart-type.
|
Variables_continues
|
593
|
Quelle(s) affirmation(s), parmi les suivantes, sont vraies ?
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{
"choices": [
"Si $X$ est de loi continue, alors sa fonction de densité est nécessairement continue sur $\\Rr$.",
"Si $X$ est de loi continue, alors sa fonction de répartition est nécessairement continue sur $\\Rr$.",
"Si $X$ est une variable aléatoire de loi ${\\cal E}xp(\\lambda)$, alors $2X$ est de loi ${\\cal E}xp(2\\lambda)$.",
"Si $X$ est une variable aléatoire de loi uniforme sur $[0,1]$, alors $2X$ est de loi de densité $f(x)=\\mathbb{I}_{[0,2]}(x)$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
C'est la fonction de répartition d'une loi continue qui est continue, mais pas forcément la densité (regardez par exemple les lois uniformes ou exponentielles !). Quand $X\sim {\cal E}xp(\lambda)$, si on avait $2X$ de loi ${\cal E}xp(2\lambda)$, alors $2X$ (qui a comme espérance $2 \mathbb{E}(X)=2/\lambda$) aurait comme espérance $1/(2\lambda)$, ce qui est contradictoire. Quant à la question sur les lois uniformes, il manque un facteur $1/2$ pour que $f$ constitue une fonction de densité.
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Variables_continues
|
594
|
On suppose que $X$ désigne le montant du gain (en euros) que rapporte un employé à son entreprise en un mois, et que $X$ est de loi ${\cal N}(500,(150)^2)$. L'entreprise verse à l'employé une prime $Y$ égale à $0$ si ce gain est inférieur à 700 euros, et, si le gain $X$ excède 700 euros, à la moitié de l'excès en question. Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?
|
{
"choices": [
"La loi de $Y$ est une loi continue et l'employé a environ $2,3\\%$ de chances d'avoir une prime supérieure à 50 euros.",
"La loi de $Y$ n'est pas une loi continue et l'employé a environ $2,3\\%$ de chances d'avoir une prime supérieure à 50 euros.",
"La loi de $Y$ est une loi continue et l'employé a environ $17\\%$ de chances d'avoir une prime supérieure à 50 euros.",
"La loi de $Y$ n'est pas une loi continue et l'employé a environ $17\\%$ de chances d'avoir une prime supérieure à 50 euros."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
On a $\{Y=0\} = \{X<700\}$, qui est de probabilité non nulle, ce qui contredit que $Y$ puisse être de loi continue (car on aurait alors $\mathbb{P}(Y=y)=0$ pour tout $y$ de $\Rr$). $Y$ n'est donc pas de loi continue, mais elle a une "composante" continue, on pourrait dire qu'elle continue conditionnellement au fait d'être $>0$. On a ensuite, pour $y >0$, $\{Y>y\} = \{Y>y \mbox{ , } X>700\} = \{ (X-700)/2 > y \mbox{ , } X>700\} = \{ X>700+2y \mbox{ , } X>700\} = \{X>700+2y\}$, donc $\{Y>50\} = \{X>800\} = \{ (X-500)/150 > (800-500)/150 \}$ qui est de probabilité $1-\Phi(2)$, qui vaut en effet environ $2.3\%$. C'était une question plus difficile, mais très loin d'être inabordable ! Il faut juste écrire les événements tranquillement...
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Variables_continues
|
595
|
Soit $P(X) = 2X^5+3X^2+X$ et $Q(X) = 3X^2-2X+3$.
Quelles sont les assertions vraies concernant le polynôme produit $P(X)\times Q(X)$ ?
|
{
"choices": [
"Le coefficient dominant est $5$.",
"Le coefficient du monôme $X^3$ est $-3$.",
"Le coefficient du terme constant est $3$.",
"Le produit est la somme de $7$ monômes ayant un coefficient non nuls."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
| null |
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
596
|
Soit $P(X) = X^3-3X^2+2$ et $Q(X) = X^3-X+1$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Le polynôme $P(X) \\times Q(X)$ est de degré $9$.",
"Le coefficient du monôme $X^2$ dans le produit $P(X) \\times Q(X)$ est $3$.",
"Le polynôme $P(X) + Q(X)$ est de degré $3$.",
"Le polynôme $P(X) - Q(X)$ est de degré $3$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
$P(X)\times Q(X) = X^6 - 3 X^5 - X^4 + 6 X^3 - 3 X^2 - 2 X + 2$,
$P(X) + Q(X) = 2 X^3 - 3 X^2 - X + 3$,
$P(X) - Q(X) = -3 X^2 + X + 1$.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
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597
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Soient $P(X)$ et $Q(X)$ deux polynômes unitaires de degré $n\ge1$.
Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$P+Q$ est un polynôme de degré $n$.",
"$P-Q$ est un polynôme de degré $n$.",
"$P \\times Q$ est un polynôme de degré $n+n=2n$.",
"$P/Q$ est un polynôme de degré $n-n=0$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Le quotient de deux polynômes n'est pas un polynôme.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
598
|
Soit $P$ un polynôme de degré $\ge 2$.
Quelles sont les assertions vraies, quel que soit le polynôme $P$ ?
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{
"choices": [
"$\\deg( P(X) \\times (X^2-X+1) ) = \\deg P(X) + 2$",
"$\\deg( P(X) + (X^2-X+1) ) = \\deg P(X)$",
"$\\deg( P(X)^2 ) = (\\deg P(X))^2$",
"$\\deg( P(X^2) ) = 2\\deg P(X)$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
On a la formule $\deg(P\times Q) = \deg P + \deg Q$ mais, il n'y a pas de formule pour la somme, car $\deg(P + Q)$ peut être strictement plus petit que $\deg P$ et $\deg Q$.
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Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
599
|
Soit $P(X) = \sum_{k=0}^n a_k X^k$. On associe le polynôme dérivé :
$P'(X) = \sum_{k=1}^n ka_k X^{k-1}$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le polynôme dérivé de $P(X) = X^5-2X^2+1$ est $P'(X)=5X^4-2X$.",
"Le seul polynôme qui vérifie $P'(X)=0$ est $P(X)=1$.",
"Si $P'(X)$ est de degré $7$, alors $P(X)$ est de degré $8$.",
"Si le coefficient constant de $P$ est nul, alors c'est aussi le cas pour $P'$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Le polynôme dérivé s'obtient comme si on dérivait la fonction $X \mapsto P(X)$.
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Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
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600
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Soit $P(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X+a_0$ un polynôme de $\Rr[X]$ de degré $n \ge 1$. À ce polynôme $P$ on associe un nouveau polynôme $Q$, défini par $Q(X) = P(X - \frac{a_{n-1}}{n})$.
Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"Si $P(X) = X^2+3X+1$ alors $Q(X) = X^2-2X$.",
"Si $P(X) = X^3-3X^2+2$ alors $Q(X) = X^3-3X$.",
"Le coefficient constant du polynôme $Q$ est toujours nul.",
"Le coefficient du monôme $X^{n-1}$ de $Q$ est toujours nul."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Cette transformation est faite afin que le coefficient du monôme $X^{n-1}$ de $Q$ soit toujours nul.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
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Subsets and Splits
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